- •2.Уравнение Бернули
- •3. Теорема Лейбница
- •1.Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •3. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов
- •1. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных для приближенных вычислений
- •2.Методы интегрирования определенных интегралов
- •3. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости
- •1.Производная функции по направлению
- •1. Вывод формулы Тейлора
- •2. Второй признак сравнения знакоположительных рядов
- •3. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Формула Лейбница.Гамма-функция
- •2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
1. Вывод формулы Тейлора
Теорема. Если в некоторой окрестности точки х = а функция имеет конечные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки этой окрестности справедлива формула
,
где .
Доказательство. Используем теорему Ролля.
Обозначим . Покажем, что разность , где .
Для этого составим вспомогательную функцию
Найдем значения функции в граничных точках отрезка .
. .
Найдем значение производной в точке t = .
.
выражение для называется остаточным членом в форме Лагранжа. Если представить в виде , где , то остаточный член примет вид
.
В частном случае, если , , то формула Тейлора примет вид
2. Второй признак сравнения знакоположительных рядов
Теорема. Если отличен от нуля конечный предел отношения соответствующих членов двух знакоположительных рядов и , т. е. , то данные ряды сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. По определению предела по Коши на языке - существование предела отношения членов рядов означает:
. для любого n > N() справедливы неравенства
.
n =1. т. е. .
Тогда для частичных сумм рядов можно записать
, где , ..
1. Ряд сходится. . , можно записать ,
т. е. последовательность частичных сумм ряда ,являющаяся монотонно возрастающей, ограничена, ряд сходится.
2. Ряд расходится, т. е. . Тогда:
. Отсюда - предел частичных сумм второго ряда также неограничен
. Следовательно, ряд расходится.
3. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Формула Лейбница.Гамма-функция
Пусть в определенном интеграле пределы интегрирования и подынтегральная функция зависят от некоторого параметра , т.е. интеграл имеет вид . Требуется найти производную интеграла по этому параметру . Будем считать, что функции , - дифференцируемые функции по . Рассмотрим отдельно три случая, когда в интеграле зависят от параметра либо подынтегральная функция, либо какой-то из пределов интегрирования. 1. Пусть . Найдем Используем теорему Лагранжа о конечном приращении функции, запишем , где . Тогда . Следовательно, . 1.Пусть от параметра зависит верхний предел интегрирования, т. е. . Найдем .По теореме о среднем , где .Тогда . Следовательно,
Если верхний предел интегрирования сложная функция , то производная интеграла найдется как производная сложной функции, т. е. В практических задачах нередко требуется найти производную по x от интеграла . В этом интеграле x под интегралом – это переменная интегрирования, а верхний предел x является фактически параметром. Поэтому .3. Если от параметра зависит только нижний предел интегрирования, то переставим верхний и нижний предел интегрирования и получим Используем формулы дифференцирования сложной функции нескольких переменных, получим производную интеграла, зависящего от параметра в общем случае или Данная формула называется формулой Лейбница. Данный интеграл называется гамма-функцией. Он часто используется в математической статистике и других прикладных разделах высшей математики. Найдем .При применим интегрирование по частям. Получим так как . Таким образом . Получим формулу для нахождения при n целом. Так .как. , то , , и т. д.
Билет 19.
1. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Найти экстремум функции ,x и y удовлетворяют уравнению . задает неявно функцию , подставим в ф-цию z, . Находим критические точки (в них производная = 0). , . Решаем систему:
|
|
, , следовательно
, решаем систему вместе с , что образует систему уравнений для нахождения критических точек, которые надо проверить на наличие в них экстремума (достаточный признак). Метод множителей Лагранжа. Левые части уравнения – частые производные ф-ции: (ф-ция Лагранжа). Система для нахождения крит.т.:
, (в случае n переменных):
Ф-ция Лагранжа: .
, крит. Т. .