1.2. Закон Био-Савара-Лапласа
1.2.1. Магнетизм как релятивистский эффект
П
усть
в неподвижной системе отсчета
вдоль оси
расположен проводник с током (рис. 1.2).
Выделим на проводнике элемент длиной
.
Если поперечное сечение проводника
,
концентрация носителя заряда
,
- элементарный заряд (например, заряд
протона), то в объеме элемента
находится электрический заряд
.
Будем считать
скорость направленного движения зарядов
в проводнике равной
.
Предположим, что на расстоянии
от выделенного элемента проводника
в подвижной системе
со скоростью
движется электрический заряд
.
Направление движения системы
(заряда
)
совпадает с направлением тока в проводнике
(элементе проводника
).
Между силами, действующими на заряд в подвижной и неподвижной системах отсчета (с точки зрения специальной теории относительности), существует связь
,
где
- сила, действующая на заряд в неподвижной
системе отсчета;
- сила, действующая
на заряд в подвижной системе отсчета.
На основании закона Кулона можно записать
,
тогда
.
(1.9)
Принимая во внимание
Лоренцево сокращение элемента
,
фиксируемое наблюдателем, находящимся
в системе
,
заменим в уравнении (1.9)
на
.
Будем иметь
. (1.10)
Первое слагаемое в выражении (1.10) представляет собой кулоновскую силу взаимодействия двух точечных зарядов:
.
Это
слагаемое значительно превосходит
второе слагаемое, однако оказывается
полностью скомпенсированным кулоновской
силой, действующей на заряд
со стороны ионов, образующих кристаллическую
решётку (любой элемент проводника
электрически нейтрален). Не-скомпенсированным
остаётся второе слагаемое формулы
(1.10), обусловленное магнитным взаимодействием
движущихся зарядов:
.
(1.11).
Знак «минус» в выражении (1.11) означает, что сила магнитного взаимодействия (магнитная сила) в данном случае является силой притяжения. В то время как кулоновская сила (в данном случае) является силой отталкивания.
Таким образом, с точки зрения теории относительности, между движущимися электрическими зарядами, помимо силы электрического происхождения, действует сила магнитного происхождения. Это позволяет утверждать, что в пространстве вокруг движущихся зарядов существует магнитное поле.
1.2.2. Закон Био-Савара-Лапласа и алгоритм его применения
Из основных положений теории относительности было получено выражение для численного значения магнитной составляющей силы взаимодействия заряда и элемента тока:
.
(1.11')
Обозначив постоянную
Гн/м
и учитывая, что
,
перепишем формулу (1.11')
в виде
.
(1.12).
Два последних
сомножителя в (1.12) являются электрическим
и кинетическим параметрами заряда
,
а сомножитель в скобках характеризует
магнитную компоненту электромагнитного
поля, т.е. представляет элемент индукции
магнитного поля
.
Таким образом
.
(1.13).
Следовательно,
магнитное поле действительно является
проявлением (частью) более общего
электромагнитного поля. При этом очень
существенным оказывается выбор системы
отсчета. Так, например, если в данной
системе отсчета заряд покоится (
),
то магнитного поля вокруг этого заряда
не существует
.
При переходе в подвижную систему отсчета,
с которой связан движущийся электрический
заряд, появляется магнитная компонента
электромагнитного поля (
).
Выражение (1.13) представляет элемент
индукции магнитного поля для частного
случая, когда интересующие точки поля
лежат на перпендикуляре к элементу
.
Еще до появления теории относительности Лаплас, обобщив результаты экспериментальных исследований, проведенных Био и Саваром, предложил формулу для расчета элемента индукции магнитного поля в общем случае
,
(1.14).
где α- угол между
направлениями радиус-вектора, проведенного
из элемента тока в интересующую точку
пространства, и элементом тока
(рис. 1.3);
-
магнитная проницаемость вещества,
безразмерная величина (для вакуума
).
И
з
сопоставления формул (1.13) и (1.14) видно,
что формула (1.13) является частным случаем
формулы (1.14).
В векторной форме закон Био-Савара-Лапласа для элемента индукции магнитного поля можно записать так:
.
(1.15).
Поскольку
является результатом векторного
произведения векторов
и
,
то он перпендикулярен к плоскости,
образованной векторами-сомножителями,
а его направление можно определить с
помощью правила правого винта.
Учитывая связь
между вектором напряженности магнитного
поля
и вектором индукции магнитного поля
(1.7), для элемента напряженности
закон Био-Савара-Лапласа можно записать
в виде
(1.16)
или в векторной форме
.
(1.17)
Чтобы получить значение вектора индукции (напряженности) магнитного поля, обусловленного произвольным проводником с током, необходимо этот проводник представить в виде совокупности элементов тока, записать выражение для элемента индукции (напряженности) магнитного поля, а затем произвести суммирование по всем элементам индукции (напряженности), т.е.
или
.
В этом смысл алгоритма применения закона Био-Савара-Лапласа для расчета магнитных полей, обусловленных постоянным током, и принципа суперпозиции магнитных полей, согласно которому если магнитное поле создано несколькими токами, то результирующее поле характеризуется результирующими векторами B или H, которые определяются (согласно принципу суперпозиции магнитных полей) так:
и
.
(1.8)