2.2. Применение закона полного тока для расчета магнитных полей

2.2.1. Напряженность поля бесконечно длинного соленоида

Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из провода, витки которой намотаны в одном направлении и прилегают плотно друг к другу.

Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось (рис. 2.6).

Внутри соленоида силовые линии каждого отдельного витка имеют одинаковое направление. Поэтому принято считать поле бесконечно длинного соленоида (такого, у которого диаметр гораздо меньше длины – d<<L) однородным, существующим только внутри его.

Р ассчитаем напряженность магнитного поля внутри соленоида, длина которого L, радиус витка R, число витков N, сила тока I. Будем считать, что в любой точке соленоида вектор H направлен параллельно оси.

Для расчета напряженности воспользуемся законом полного тока в виде

. (2.7)

В ыберем замкнутый контур прямоугольной формы (рис. 2.7), участок 1-2 которого расположен внутри соленоида вдоль его оси.

Левую часть выражения (2.7) можно представить в виде

,

где , так как H перпендикулярен участку 2-3;

, так как H перпендикулярен участку 4-1;

, так как участок 3-4 находится вне соленоида.

Следовательно,

.

Правая часть выражения (2.16) может быть представлена так:

,

где n - число витков на единице длины соленоида;

- длина участка;

I - величина тока в соленоиде.

Таким образом, имеем

.

Откуда

. (2.8)

Формула (2.8) согласуется с формулой, полученной с применением закона Био-Савара-Лапласа.

Из полученного результата действительно видно, что напряженность магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида имеет одно и тоже значение, а следовательно, оно действительно однородно.

Таким образом, действительно внутри бесконечно длинного соленоида напряженность магнитного поля практически везде одинакова. Она направлена вдоль оси соленоида в соответствии с правилом правого винта.

2.2.2. Напряженность магнитного поля тороида

Магнитное поле тороида (тороид – это соленоид, свитый в кольцо) однородное, сосредоточено внутри самого тороида. Вне тороида поле отсутствует. Линии вектора H представляют собой концентрические окружности, центры которых совпадают с центром тороида. Краевой эффект у тороида (такого соленоида) отсутствует (рис. 2.8).

В ыбирая одну из линий вектора H за контур обхода, радиус которого r (r₁, r₂), и применяя закон полного тока, будем иметь

;

,

где R - радиус тороида (радиус линии вектора H, расположенной в средней части тороида).

Имеем

.

Откуда

. (2.9)

Так как в нашем случае R = r, то

. (2.10)

Внутри тороида напряженность магнитного поля имеет различные направления, поэтому говорить о его однородности можно только условно, т.е.

.

2.2.3. Напряженность магнитного поля внутри толстых проводников с током

Пусть ток с постоянной плотностью протекает по проводнику радиуса (рис. 2.9). Вне проводника, согласно теореме о циркуляции вектора напряженности магнитного поля ,

, (2.11)

где - контур, представляющий собой окружность радиуса , центр которой лежит на оси цилиндрического проводника.

Имеем

или . (2.12)

Величина тока

,

где - плотность тока.

Тогда

, (2.13)

Анализ полученного соотношения показывает:

1. Если расстояние от оси проводника меньше его радиуса (r<R₀), то

.

Напряженность магнитного поля линейно возрастает.

2. Если расстояние от оси проводника равно его радиусу, то

.

Н апряженность магнитного поля достигает максимального значения.

3. Если расстояние от оси проводника больше его радиуса (r<>R₀), то

.

Напряженность магнитного поля убывает и при R равна нулю.

Графически изменение напряженности магнитного поля проводника от расстояния до его оси можно представить так, как показано на рис. 2.10.