- •Введение в предмет
- •Лекция 1.1.
- •Математика, ее история, основные элементы и методы
- •1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика»
- •2. История развития математики, ее основные этапы
- •3. Развитие понятия числа. Комплексные числа.
- •Контрольные вопросы
- •Раздел I.
- •Тема 2.
- •1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений
- •2. Понятие матрицы, виды матриц
- •3. Определители и их свойства. Формулы Крамера
- •1. Арифметические операции над матрицам
- •1)Сложение матриц
- •2) Вычитание матриц
- •3)Умножение матрицы на число
- •4) Произведение матриц
- •2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом
- •2. Метод Гаусса решения слау
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3.
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Лекция 3.1.
- •Вектора
- •1. Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами
- •Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Действия над векторами в координатной форме
- •Лекция 3.2. Нелинейные операции над векторами. Линейная независимость векторов и базис пространства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов Лекция 3.3 Аналитическая геометрия на плоскости и а пространстве
- •1. Метод координат на плоскости
- •2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные вопросы
- •Раздел II.
- •Тема 4.
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Понятие функции, ее свойства
- •3. Понятие числовой последовательности
- •Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства
- •1. Предел числовой последовательности и его свойства
- •2. Понятие предела функции
- •3. Основные теоремы о пределах
- •Лекция 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства
- •2. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Лекция 4.4. Замечательные пределы. Непрерывность функций
- •1. Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5.
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •Понятие смысл производной
- •Лекция 5.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях
- •1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл
- •2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 6.3 Приложение понятия производной
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6.
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Лекция 6.1.
- •Фнп. Частные производные
- •1.Понятие функции двух и нескольких переменных
- •Лекция 6.2. Приложения понятия частных производных
- •Производная по направлению
- •2. Градиент функции и его применение
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2. Непосредственное интегрирование
- •3. Основные методы интегрирования
- •Лекция 7.2. Определенный интеграл и его вычисление
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Понятие определенного интеграла и его свойства
- •3.Формула Ньютона-Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла
- •Лекция 7.3. Определенный интеграл и его вычисление
- •Понятие несобственного интеграла второго рода
- •Приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы по теме
- •Тема 8.
- •Дифференциальные уравнения
- •Лекция 8.1.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
- •1. Понятие дифференциального уравнения и его решения
- •2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
- •3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лекция 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Понятие числового ряда, его сходимость и сумма
- •1.2. Примеры числовых рядов.
- •Лекция 9.2. Степенной ряд и его область сходимости.
- •2. Степенной ряд, вид его области сходимости
- •Контрольные вопросы
Лекция 6.3 Приложение понятия производной
Время- 2 часа
План
1 .Основные теоремы дифференциального исчисления
2. Правило Лопиталя для нахождения пределов функций.
3. Возрастание и убывание функций. Экстремум
В математическом анализе существует ряд теорем о дифференцируемых функциях, которые имеют большое теоретическое и прикладное значение. К таким теоремам относятся теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Коши. Все они названы по именам знаменитых французских математиков XVII-XIX веков.
Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ферма (теорема о нулях производной).
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и принимает в той точке наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .
Доказательство. Рассмотрим окрестность точки , в которой определена функция. Предположим для определенности, что функция в точке принимает наибольшее значение. Тогда для всех выполняется неравенство , при этом
если , то , т.е. . Следует: (правосторонний предел – неотрицателен);
если , то , т.е. . Следует: (левосторонний предел– неположителен).
По условию теоремы функция в точке имеет производную, т.е. существуют равные односторонние пределы:
.
Равенство возможно только в том случае, когда односторонние пределы равны нулю, но тогда равен нулю и общий предел, т.е. производная. Таким образом, .
Если функция в точке принимает наименьшее значение, то доказательство проводится аналогично с заменой знаков неравенств на противоположные. Теорема доказана.
Геометрическая интерпретация теоремы Ферма: если функция в точке принимает наибольшее или наименьшее значение и дифференцируема в этой точке, то касательная, проведенная к графику этой функции в точке параллельна оси Ox.
Рис.
Теорема Ролля (теорема о корнях производной). Пусть функция
1) непрерывна на ;
2) дифференцируема на ;
3) принимает равные значения на концах отрезка:
Тогда существует хотя бы одна точка в которой производная функции равна нулю, т.е.
Доказательство. Поскольку непрерывна на (по первому условию теоремы), то по теореме Вейерштрасса она принимает на этом отрезке свое наибольшее М и наименьшее m значение. Рассмотрим два возможных случая:
1. . Тогда функция на отрезке сохраняет постоянное значение. А производная постоянной функции равна нулю и, таким образом, для всех точек производная
2. . Поскольку по условию теоремы то по крайней мере одно из значений М или m функция принимает в некоторой точке . А согласно теореме Ферма Теорема доказана.
Геометрическая интерпретация теоремы Ролля: если функция непрерывна на , дифференцируема на и принимает равные значения на концах отрезка, то найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная, проведенная к графику данной функции в точке , параллельна оси Ox.
Рис.
Теорема Коши (теорема об отношении приращений двух функций). Пусть функции и
1) непрерывны на ;
2) дифференцируемы на , причем
Тогда существует хотя бы одна точка , такая, то справедлива формула
(6.7)
Доказательство. Сначала отметим, что обе части формулы (6.7) имеют смысл, т.е. знаменатели дробей в обеих частях не равны нулю. В правой части по условию теоремы, т.к. . В левой части имеем: поскольку в противном случае получили бы , но по теореме Ролля существует точка в которой , что противоречит условию теоремы Коши.
Рассмотрим на вспомогательную функцию
Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля. Действительно,
непрерывна на , как разность непрерывных функции и .
дифференцируема на , т.к. имеет конечную производную, равную
принимает равные значения на концах отрезка:
Применяя теорему Ролля к функции , заключаем, что существует такая точка , что , т.е. откуда получаем или Теорема доказана.
Частным случаем теоремы Коши является теорема Лагранжа.
Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях). Пусть функция
1) непрерывна на ;
2) дифференцируема на .
Тогда существует хотя бы одна точка , такая, то справедлива формула
(6.8)
Доказательство (1-й способ). Рассмотрим на вспомогательную функцию
Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Роля. Действительно,
и линейной функцией.
дифференцируема на , т.к. имеет конечную производную, равную
принимает равные значения на концах отрезка:
Применяя теорему Ролля к функции , заключаем, что существует такая точка , что , т.е. откуда получаем Теорема доказана.
Доказательство (2-й способ). Применяя теорему Коши, положив в формуле (6.7) функцию Тогда, в том, числе и для . Подставив найденные выражения в формулу (6.7), получим формулу (6.8). Теорема доказана.
Иногда равенство Лагранжа записывают в виде
где .
Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа:……..
Рис…..
Замечание 1. Формулу (6.8) называют формулой о конечном приращении, т.к. она говорит о том, что приращение дифференцируемой функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной в некоторой внутренней точке этого отрезка.
Замечание 2. Теорема Лагранжа имеет важный физический смысл: существует хотя бы одна точка внутри отрезка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на всем отрезке.
Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши называют теоремами о средних значениях.