2. Метод Гаусса решения слау
Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Рассмотрим этот метод на примере СЛАУ трех уравнений с тремя неизвестными:
Пусть
(если
,
то изменив последовательность уравнений
в системе, можно записать первым то
уравнение, в котором коэффициент при x
не равен нулю). Чтобы исключить x
из второго уравнения системы, прибавим
к нему первое уравнение, умноженное на
Аналогично исключим x
из третьего уравнения, умножая первое
уравнение на
и прибавляя полученное уравнение к
третьему. Приходим к равносильной
системе
Если
,
то умножая второе уравнение системы на
и прибавляя полученное уравнение к
третьему уравнению системы, исключая
из него y.
В итоге исходная система преобразуется
к виду
Из последней системы все неизвестные легко определяются. Здесь возможны три случая:
1) если
,
то система имеет единственное решение,
которое легко определяется из системы,
начиная с последнего уравнения;
2) если
,
но
,
то третье уравнение системы является
противоречивым (
).
Поэтому, система решений не имеет;
3) если
и
,
то система имеет бесконечное множество
решений.
На практике, метод Гаусса- метод последовательного исключения неизвестных заключается в том, что с помощью элементарных преобразований расширенную матрицу системы приводят к треугольному или ступенчатому виду, затем по полученной матрице восстанавливают систему и судят о том, имеет она решения и какие.
Достоинством метода Гаусса по сравнению с другими методами состоит в следующем:
- метод менее трудоемкий;
- позволяет решить систему с любым числом неизвестных и уравнений;
- позволяет однозначно установит, совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решение –единственное или бесконечное множество.
Рассмотрим применение метода Гаусса при решении трех систем.
Пример 2.8..
Решить методом Гаусса систему
Решение. Запишем расширенную матрицу системы
По полученной матрице системы восстанавливаем саму систему, получаем
Решаем ее снизу
вверх. Из последнего
.
Подставляем это значение во второе
уравнение, найдем
.
Затем, подставляя эти два найденных
значения в первое уравнение, получим
Ответ:
Пример 2.9. Решить методом Гаусса систему (множество решений…)
Пример 2.10. Решить методом Гаусса систему (нет решений)
Контрольные вопросы
1. Понятие матрицы. Виды матриц.
2. Операции над матрицами.
3. Определители второго и третьего порядков.
4. Разложение определителя по элементам строки или столбца.
5. Решение СЛАУ методом Крамера.
6. Обратная матрица. Существование обратной матрицы. Метод нахождения обратной матрицы.
7. Решение СЛАУ матричным методом.
8. Ранг матрицы. Теорема К-К.
9. Элементарные преобразования матриц.
10. Решение СЛАУ методом Гаусса.
Тема 3.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Лекция 3.1.
Вектора
Время -2 а.ч.
План:
Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами
Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей.
Действия над векторами в координатной форме
Например, если сказано, что автомобиль движется со скоростью 100 км/ час, то про его скорость известно не все, потому что неизвестно, в каком направлении он двигается. При изучении реального мира приходится сталкиваться с двумя родами величин: скалярными и векторными.
1. Если некоторая величина вполне определяется ее числовым значением, то ее называют скалярной. Примерами скалярных величин могут служить: масса, плотность, работа, сила тока, температура. Скаляры являются алгебраическими величинами и с ними можно производить любые алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и т. д.
2. Если при определении некоторой величины для ее полной характеристики, кроме числового значения, надо знать и ее направление, то такая величина называется векторной, или вектором. Примерами векторных величин являются скорость, ускорение, сила.