- •Введение в предмет
- •Лекция 1.1.
- •Математика, ее история, основные элементы и методы
- •1. Предмет, задачи и содержание курса «Математика»
- •2. История развития математики, ее основные этапы
- •3. Развитие понятия числа. Комплексные числа.
- •Контрольные вопросы
- •Раздел I.
- •Тема 2.
- •1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений
- •2. Понятие матрицы, виды матриц
- •3. Определители и их свойства. Формулы Крамера
- •1. Арифметические операции над матрицам
- •1)Сложение матриц
- •2) Вычитание матриц
- •3)Умножение матрицы на число
- •4) Произведение матриц
- •2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом
- •2. Метод Гаусса решения слау
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3.
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Лекция 3.1.
- •Вектора
- •1. Вектор. Линейные операции над геометрическими векторами
- •Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Действия над векторами в координатной форме
- •Лекция 3.2. Нелинейные операции над векторами. Линейная независимость векторов и базис пространства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов Лекция 3.3 Аналитическая геометрия на плоскости и а пространстве
- •1. Метод координат на плоскости
- •2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные вопросы
- •Раздел II.
- •Тема 4.
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Понятие функции, ее свойства
- •3. Понятие числовой последовательности
- •Лекция 4.2. Предел функции, основные свойства
- •1. Предел числовой последовательности и его свойства
- •2. Понятие предела функции
- •3. Основные теоремы о пределах
- •Лекция 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- •1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функции, их свойства
- •2. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Лекция 4.4. Замечательные пределы. Непрерывность функций
- •1. Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5.
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •Понятие смысл производной
- •Лекция 5.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях
- •1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл
- •2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 6.3 Приложение понятия производной
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •Лекция 5.4. Общее исследование функций с помощью производной
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6.
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Лекция 6.1.
- •Фнп. Частные производные
- •1.Понятие функции двух и нескольких переменных
- •Лекция 6.2. Приложения понятия частных производных
- •Производная по направлению
- •2. Градиент функции и его применение
- •1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2. Непосредственное интегрирование
- •3. Основные методы интегрирования
- •Лекция 7.2. Определенный интеграл и его вычисление
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Понятие определенного интеграла и его свойства
- •3.Формула Ньютона-Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла
- •Лекция 7.3. Определенный интеграл и его вычисление
- •Понятие несобственного интеграла второго рода
- •Приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы по теме
- •Тема 8.
- •Дифференциальные уравнения
- •Лекция 8.1.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды и методы решения
- •1. Понятие дифференциального уравнения и его решения
- •2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
- •3. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лекция 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Понятие числового ряда, его сходимость и сумма
- •1.2. Примеры числовых рядов.
- •Лекция 9.2. Степенной ряд и его область сходимости.
- •2. Степенной ряд, вид его области сходимости
- •Контрольные вопросы
Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
Вопросы отыскания пределов функций уже рассматривались выше. В данном параграфе речь пойдет об очень важном и практически удобном способе отыскания пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций при помощи производных. Этот способ называют правилом Лопиталя, т.к. оно впервые было опубликовано именно в книге французского математика Гильома де Лопиталя, хотя само открытие этого правила принадлежит Иоганну Бернулли.
Раскрытие неопределенностей вида и
Теорема 6.5. (правило Лопиталя для неопределенности ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и в самой этой точке равны нулю, т.е. . Если в окрестности точки , тогда справедливо равенство
(6.9)
если предел в правой части этого равенства существует.
Доказательство: применим теорему Коши для функций и и отрезка , лежащего в окрестности точки . По этой теореме найдется такая точка , для которой выполнено равенство:
Но, по условию , тогда
Пусть , тогда величина также будет стремится к . Перейдем в последнем равенстве к пределу, получим:
Теорема доказана.
Следствие 1. Теорема верна и в том случае, когда . Действительно, положим , получим
Следствие 2. Теорема верна и в том случае, когда функции и не определены в точке , но существуют пределы и .
Пример 6.19. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить
Решение……
Пример 6.20.
Замечание. При применении правила Лопиталя следует обратить внимание на то, что в правой части формулы (6.9) берется не производная отношения функции, а отношение производных двух функций.
Теорема 6.6. (правило Лопиталя для неопределенности ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки. Если в окрестности точки и , тогда справедливо равенство
(6.10)
если предел в правой части этого равенства существует.
Пример 6.21.
…………………
Раскрытие неопределенностей вида , , , ,
Для раскрытия неопределенностей вида , , , , необходимо с функцией, стоящей под знаком предела провести некоторые преобразования, а лишь затем применить правило Лопиталя.
1. При раскрытии неопределенности вида , следует сначала алгебраически преобразовать функцию, стоящую под знаком предела, для того чтобы получить неопределенности вида или , а затем применить правило Лопиталя.
Пример 6.22. Найти предел
а) б)
При раскрытия неопределенности вида , , вначале логарифмируют функцию, стоящую под знаком предела, затем по правилу Лопиталя находят предел ее логарифма.
Пример 6.23. Найти предел
Решение. Имеет место неопределенность . Вычислим предел логарифма данной функции
Итак, получили или , т.е.
Правило Лопиталя удобное средство для нахождения пределов, однако не всегда решает поставленную задачу.
Пример 6.24. Найти предел
Решение.
После применения правила Лопиталя, получили предел от функции, в котором числитель и знаменатель поменялись местами по сравнению с исходной функцией. Если правило Лопиталя применит еще раз, то можно опять вернуться к исходному пределу. Таким образом, для данного примера правило Лопиталя не позволило раскрыть неопределенность. Нетрудно понять, что такой предел можно найти без применения производных: