1.4. Функция двух переменных

Основные формулы, определения и теоремы

Определение: Пусть принадлежит некоторой области на плоскости . Если любому по правилу ставится в соответствие единственное значение , то называется функцией двух переменных и .

Геометрически в трехмерном пространстве тройке чисел можно сопоставить двумерную поверхность.

Определение: Линия уровня

Пусть фиксируется значение функции , тогда совокупность точек плоскости , удовлетворяющих условию называется линией уровня.

Проводя линии уровня с равным известным шагом, можно на плоскости изобразить функцию двух переменных. Например, на географической карте кроме линий уровня для представления высоты точки над уровнем моря используется географическая палитра цветов.

Таким образом, двумерный рельеф местности можно изобразить на плоскости.

Другие примеры линий уровня дают изобарические и изотермические линии.

Функцию двух переменных можно также представить в виде плоского черно-белого изображения, так как в этом случае каждой точке плоскости соответствует свое значение оттенка серого от белого до черного.

Определение: Частные производные

1. Частной производной называется производная от при условии ,что считается постоянной величиной.

2. Частной производной называется производная от при условии ,что является постоянной величиной.

Определение:

Дифференциалом функции называется

Определение: Градиент функции

Градиентом функции называется вектор

Градиент функции указывает направление максимального возрастания функции, т.е. направление максимально крутого подъема в данной точке рельефа. Причем, чем больше модуль градиента

тем больше скорость возрастания функции, т.е. тем круче подъем.

Определение: Критическая точка

Критической точкой называется точка в которой

.

Определение:

Критическая точка называется невырожденной, если определитель

Теорема: Достаточное условие экстремума

Пусть - невырожденная критическая точка функции . Тогда если

1. и , то - точка минимума;

2. и , то - точка максимума;

3. , то - седловая точка.

Примеры решения задач

Пример 1: Найти частные производные и полный дифференциал для функции

Решение: Считая постоянной, находим

Считая постоянной, находим

Полный дифференциал будет равен

Пример 2: Найти экстремальные точки функции двух переменных

Решение: Найдем частные производные первого порядка

Приравнивая нулю частные производные, получим систему линейных уравнений для определения критической точки

отсюда

Сложив уравнения, получим , и из второго уравнения получим . Для определения вида критической точки найдем вторые частные производные

Отсюда найдем определитель

В связи с тем, что в критической точке определитель и , точка является точкой максимума, а максимальное значение функции равно .

Пример 3: Пусть задана функция двух переменных .

Тогда частные производные будут равны

Градиент функции равен

.

В точках и градиент равен соответственно

Модули градиентов равны

Отсюда, в связи с тем, что , так как , функция z быстрее изменяется в точке чем в точке .

На рисунке изображены векторы градиента в точках и , указывающие направления максимального возрастания функции.