2. Интегральное исчисление

2.1. Неопределенный интеграл

Основные определения, теоремы и формулы:

Определение: Неопределенным интегралом (первообразной) для функции называется функция , производная от которой равна для любых из области определения, т.е.

или .

Неопределенный интеграл для функции вычисляется с точностью до постоянной.

Интегралы от основных элементарных функций

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Теорема 1:

Пусть ,тогда

Теорема 2: Интегрирование заменой переменной

Теорема 3: Интегрирование по частям

Примеры решения задач:

Пример 1: Вычислить неопределенный интеграл

Решение: Используя теорему 1 получим из табличных интегралов

Пример 2: Вычислить неопределенный интеграл

Решение: Воспользовавшись подстановкой и табличным интегралом, имеем

Пример 3: Вычислить неопределенный интеграл

Решение: Воспользуемся интегрированием по частям

Пусть

тогда из теоремы 3 имеем

Пример 4: Вычислить неопределенный интеграл

Решение: Разложим подынтегральное выражение на элементарные дроби

Приводя к общему знаменателю, для числителя можно записать

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов

Таким образом, подынтегральное выражение имеет вид

Отсюда, окончательно интеграл будет равен

2.2. Определенный интеграл

Основные формулы:

Формула Ньютона - Лейбница

Если любая первообразная для , то

Разбиение интервала интегрирования

Изменение пределов интегрирования

В частности, .

Замена переменной в определенном интеграле

Интегрирование по частям определенного интеграла

Приложение интегрального исчисления

1. Площадь плоской фигуры

- элементарная площадка

- площадь фигуры

2. Длина кривой

Элементарная длина из теоремы Пифагора

отсюда

;

3. Объем тела вращения

- объем элементарного цилиндра

- объем тела вращения

4. Площадь поверхности вращения

- площадь поверхности элементарного усеченного конуса

- площадь поверхности вращения

Примеры решения задач:

Пример 1: С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной условиями

,

Решение: Прямая и парабола ограничивают замкнутую конечную область. При этом изменяется в пределах от 0 до 1. Тогда для площади получаем

,

где - верхняя кривая ,

- нижняя кривая

отсюда

Пример 2: С помощью определенного интеграла вычислить объем фигуры вращения (вокруг оси ), ограниченной условиями

,

Решение: Прямая в результате вращения вокруг оси образует

конус с высотой 1. Парабола после вращения вокруг оси образует коническую фигуру, вложенную в конус. Искомый объем будет равен разности объемов этих двух фигур

Пример 3: Вычислить с помощью определенного интеграла капитал фирмы в момент , если ее доход (прибыль) описывается функцией , а в начальный момент капитал фирмы был равен

Решение: Производная от капитала является доходом фирмы. Тогда в силу формулы Ньютона-Лейбница имеем

Разбивая интервал интегрирования на части, получим