20. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости.

Пусть ф-ия z=f(x,y) определена на некот. δ-окрест. т. Mo(x0,y0) и пусть M(x,y) принадлежат этой окр.

Пусть ∆x=x-x0, ∆y=y-y0, тогда:

Ф-ия z=f(x,y) назыв. дифференц. в точке Mo(x0,y0), если сущ-ют два числа А и В, таких, что: ∆z=A∆x+B∆y+α(∆x, ∆y), где α(∆x, ∆y) –ε(∆x, ∆y)ρ, ρ≠0.

Необходимое условие дифф-ти, если fz=f(x,y) дифф-мы в т. Po(x0,y0), то в этой т. сущ-ют частные производные ф-ции, прчием f’x(Po)=A, f’y(Po)=B, где А и В – числа из

21. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Полным приращением функции в точке Мо(xо,yо) называется разность f(хо+х,yo+y) - f(xо,yо) = f. Если функция f(x,y) определена в окрестности точки Мо и имеет непрерывные частные производные, то полное приращение функции можно выразить формулой: f=f ‘xх+ f ‘y* y +(х)х+ (y)y. (х) и (х) – бесконечно малые числа и 0. Линейная часть приращения функции относительного приращения аргумента х и y называют полным дифференциалом. f(x,y)dZ или df, df=f ‘xх+ f ‘yy. Применим полный дифференциал к приближенным вычислениям. При достаточно малых по абсолютной величине х и y, приращение функции fdf.

f= f ‘xх+ f ‘yy+ (х)х+ (y)y.

f(хо+х,yo+y) - f(xо,yо)= f ‘x(xo,yo)x+ f ‘y(xo,yo)y.

f(хо+х,yo+y) f(xо,yо)+ f ‘x(xo,yo)x+ f ‘y(xo,yo)y.

22. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Точка Ро назыв. точкой локального max. и min., если сущ. такая Ебс-окр. это точки, что для всех точек Р из этой окр. отсеченных от самой Ро выполняется неравенство: f(Po)>f(P) или f(Po)<f(P). Точки max. и min. назыв. экстремумы, а значение в этих точках – экстрем. функции.

Необходимость существования экстремума: Если f(x,y) в точке Po(xо,yо) имеет экстремум и в этой точке существуют конечные частные производные, то они равны 0. ∂f / ∆x(x₀,y₀)=0

∂f /∆y=(x₀,y₀)=0 (система). Экстремумы функции f(x,y) надо искать в точках, координаты которые удовлетворяют системе уравнений. Из этой системы ищем критические точки. Достаточные условия существования эксремума функции 2-х переменных: Пусть точка Pо(xo,yo) – критическая точка функции f(x,y). Введем следующие обозначения: Af”_x(xo,yo), Bf”_xy(xo,yo), Cf”_y(xo,yo), AC-B².Тогда, если: 1. >0 и при этом А>0 (C>0), то в точке Pо – минимум, если >0 и при этом А<0 (C<0), то в точке Pо – максимум. 2. Если <0, то в точке Pо экстремума нет. 3. Если =0, то требуется дополнительные исследования для увеличения и установки экстремума.

23. Условный экстремум функции нескольких переменных.

Ф-ия имеет условный максимум (мин.) в т. если сущ. такая окрестность. т. для всех точек кот-й, удовлетв.х ур-ям связи выполн. неравенство .

Исслед. ф-ции на усл экстремум сводят к исслед. на обычный экстремум ф-ции Лагранжа

Константы назыв множит Лагранжа.