36. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

   (1)

   (2)

Ряд называется абсолютно схяодящимся, если сходится ряд .

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд   расходится.

Св-ва абсолют. сход. рядов:

1) Т. Для абсолют. сходи. ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представ. в виде разности 2х сход рядов с неотрицат членами.

2) В сход ряде любая группировка членов ряда, не измен их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолют сходится и имеет ту же сумму.

4) Т. При любой группировке членов абсолютно сход. ряда получается сход. ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

5) Если ряды и   (сход. абсолютно и их суммы равны соответственно S и s, то ряд, составленный из всех произведений вида   , i,k=1,2…взятых в каком угодно порядке, также сход абсолютно и его сумма равна произведению сумм перемножаемых рядов.

Cв-ва условно сход. рядов:

1. Если ряд условно сход., то ряды, составл. из его положит. и членов, расх..

2. Путём измен. порядка членов условно сход. ряда можно получить ряд, сход. к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся.

3. При почленном умножении 2х условно сход рядов может получиться расх. ряд.

37. Понятие функционального ряда. Область сходимости.

Пусть , n принадлеж. натур. – ф-ция опред. на мн-ве Х. Функциональным рядом назыв. выражение вижа (1)

Мн-во D всех значений х, при кот-ых ряд (1) сход. назыв. областью сходимости функц. ряда

38. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.

Степенным рядом назыв. функц. ряд вида: . Cn принадлеж. R. (3)

Если х0=0, то (4)

Ряд (4) всегда сход. по крайней мере в одной точке х=0

х-х0=у

Теорема Абеля:

Если ряд 4 сход. в некот. т. х1≠0, то он будит сход. при всех знач.-ях х принадлеж. R. |x|<|x1|. Если ряд 4 расход, в x2, то он будит расходящимся и при всех х принадлеж. R, |x|>|x2|.

Св-ва степенных рядов:

1. сума степен. ряда - есть ф-ия непрерыв. на любом отрезке, содержащимся внутри интервала сходимости

2. степен. ряд можно почленно интегрир. на любом отрезке, содерж. в интервале. Получ. ряд будит иметь такой же радиус сходимости как и исходный.

3. степен. ряд можно почленно дифф-ть любое число раз, радиус сход. его при это не изменится

39. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть f(x) имеет производные всех порядков некотор. окрестн. т. x. Рядом Тейлора для f(x) в т. х0 назыв. степен. ряд след. вида:

Если х0=0, то ряд назыв. рядом Маклорена

При выполнении некотр. условий ряд Тейлора для f(x) равен самой f(x). Говорят, что ф-ия представима в виде ф-ии степен. ряда

x принадлеж. R.

Ф-ия F(x) назыв. первообразной для f(x) на (а;в), если в кажд. т. этого интервала F(x) дифф-ма и F’(x)=f(x)

Мн-во всех первообразн. f(x) на (а;в) назыв. неопpед. интегр. от f(x).

Ф-ла замены переменной:

Ф-ла для опред. интеграла:

Опред. интеграл в эк-ке:

u=f(t) – пр-ть труда, тогда V прод-ии, произвед. за время от t до t2 равен

Пусть ф-ия k(x) опред. зависим. TC от Q прод-ии x, тогда f знач. TC при выпуске Q от а до b, x принадлеж. [a; b], опред.:

Отображение f:x . f:x=(x1…xn)-> - такие отображения назыв. ф-ми n-переменных

e-окрест. точки х₀ÎR назыв. множество точек хÎR , удовлет. условию: .

Пусть дана z=f(x;y), Po(x0;y0) принадлеж. D. Число A назыв. пределом ф-ции z=f(P) т. Po, если для люб. послед-ти точек Pn(xn;yn) принадлеж. R*R сход. в т. Po соответств. посл-ть, f(Pn) значение ф-ции, сходится к A.

Ф-ия назыв. дифф-ой в т. Mo(x0;y0), если сущ. 2 А и В, что ∆z=A∆x+B∆y+α(∆x,y∆).

Если сущ. конечный предел , то он назв. частной произв. по пер. x в т. Po(x0,y0) и обознач.

Дифф. ур-я n-го порядка назыв. соотношение вида F(x,y,y’,…, )=0, где F – известная ф-ия , х – независ. перемен, y=y(x) – ф-ия подлеж. определению, y’, - произв. этой f

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 – дифф. ур-не 1-го порядка, где M(x,y), N(x,y) заданы в области .

M(x)dx+N(y)dy=0 – ур-е с раздел. перемен.,

Модуль комплексного числа a + bi обозначается |a + bi|, Угол φ м\ду oX и вектором ОМ, изображ. комплю число а + bi, назыв. аргум. компл. числа а + bi.

Степен. ряд всегда сх. в некот. интервале ( -R;R), назыв. интервалом сходимости. Число R – радиус сход. ряда , где Cn,Cn+1 принадлеж. R