- •1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
- •2. Правило Лопиталя.
- •3. Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
- •4. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
- •5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.
- •7. Асимптоты графика функции.
- •8. Свойства неопределенного интеграла.
- •9. Таблица основных неопределенных интегралов.
- •10. Задача о площади (площадь криволинейной трапеции).
- •11. Определенный интеграл.
- •12. Свойства определенного интеграла.
- •13. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.
- •14. Формула Ньютона-Лейбница.
- •15. Длина дуги плоской кривой.
- •16. Несобственный интеграл 1-го и 2-го рода.
- •17. Понятие функции нескольких переменных.
- •18. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.
- •19. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и его свойства.
- •20. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости.
- •21. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •22. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •23. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •24. Глобальный экстремум функции нескольких переменных.
- •26. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- •27. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общий интеграл, общее и частное решение, задача Коши
- •28. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •29. Комплексные числа и действия над ними.
- •30. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •31. Метод вариации произвольной постоянной.
- •32. Числовой ряд и его сумма. Свойства сходящихся рядов.
- •33. Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд
- •34. Признаки сравнения сходимости рядов с положительными Членами.
- •35. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
- •37. Понятие функционального ряда. Область сходимости.
- •38. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена.
24. Глобальный экстремум функции нескольких переменных.
Пусть z=f(x,y) – диф.-ема на огран. замкнутом мн-ве D, по т. Вейерштрасса, на этом мн-ве, f принимает свои наиб. и наим. знач.-я, кот. назыв. глоб экстремумом f.
25. Метод наименьших квадратов (для случая f(x)=ax+b).
Зависим. некот. величины у от пермен. х часто выраж в виде табл. данные ко-й получ. эксперемент.: (1)
х |
х1 |
х2 |
х.. |
хn |
y |
y1 |
y2 |
y.. |
yn |
Для обраб. инфы удобно иметь в виде формулы y=f(x), где f(x) – некот. ф-ия, кот. нам пока не известа, Вид этой f(x) можно орпед-ть, исходя из граф. соображ.
f(x) будит лишь приближ. опред. зависим. м-ду у и х. Степень отклон. можно оценить след. способами:
1.
2.
3.
Наиболее точн. критерием для оценивания явл. 3-й способ, т.е. max точноть будит достигнута в том случае, если –>min – метод наим. квадратов:
Пусть f(x) имеет вид ax+b (2), тогда рассмотрим z(a,b)= . Найти наим. знач ф-ции.
(3)
(4)
(3) и (4) система. Эта система имеет одно реш. (a0,b0), кот. явл. min знач. ф-ции (2) z(a,b)
26. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
27. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общий интеграл, общее и частное решение, задача Коши
F(x,y,y’)=0 – дифф. ур-е 1-го порядка
y’=f(x,y) (2)– дифф. ур-е 1-го порядка, разрешенным относ. производной
Общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения – это соотношение
содержащее и существенных произвольных постоянных C1,..., Cn, следствием которого является данное дифференциальное уравнение:
F (x, у, у',..., y (n)) =0
F(х, у, C1,..., Cn) =0,
Семейство решений ур-я (2) вида y=φ(x,c), зависящее от производной постоянной С назыв. общим. решением. Если придать С числ. значение, то поулчим частное решение.
Графические задача Коши означ., что из мн-ва всех интегральных кривых требуется найти ту, кот. проходит через точку (x0,y0)
28. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
y’+p(x)=q(x) (1)
y=uv, u=u(x), v=v(x) – некот. ф-ции, зав. от х подставив получим
u’v+uv’+p(x)uv=q(x)
u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)
v’+p(x)v=0 (2)
u’v=q(x) (3)
2 и 3 идут как система
v=v(x)
u’=q(x)/v(x)
u=Sq(x)/v(x)dx
29. Комплексные числа и действия над ними.
Комплексными числами назыв. z=a+bi(1), где a и b принадлеж. R, i – мнимая ед-ца.
b принадлеж. R i=-1 (1) – алгебраич. форма записи комплекс. числа. a=R принадлеж. z, назыв. действ. частью клмплекс. числа. ,
Действия над числам:
z1=a1+b1i z2=a2+b2i
1. z1+z2=(a1+a2)+(b1i+b2i)
2. z1*z2=(a1+b1i)*(a2+b2i)=a1a2+b1b2i*i+a1b2i+b1a2i=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i
3. z1/z2=(a1+b1i)/a2+b2i=(a1+b1i)(a2-b2i)/(a2+b2i)(a2-b2i)=(a1+b1i)(a2-b2i)/(a2*a2+b2*b2)
30. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
y’’+py’+qy=0 (1)
(2)
p,q принадлеж R
1. D>0
1≠ 2
2. D=0
1= 2
3. D<0