2. Гидростатика

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практическое применение.

На жидкость действуют внешние силы, распределенные по ее массе (объемные) и по поверхности (поверхностные силы). К первым относятся силы тяготения, силы инерции, ко вторым - силы давления внутри жидкости и атмосферного давления на свободную поверхность, силы трения в движущейся жидкости. При воздействии внешних сил в жидкости возникает давление.

Давлением называется отношение силы, перпендикулярной поверхности, к площади, на которую действует сила.

Если давление отсчитывают от абсолютного нуля, то его называют абсолютным (p_абс.), если от условного нуля, за который принято атмосферное давление (р_а.), то избыточным (манометрическим) (р_изб.), т.е.

p_абс.= р_а.+ р_изб.

Если давление в жидкости меньше атмосферного, подобное состояние называют вакуум (разрежение):

p_вак.= р_а.- р_абс.

Единица измерения давления – Паскаль (Па), но наиболее удобными для практического использования являются кратные единицы: 1 кПа = 10³ Па, 1 МПа = 10⁶ Па. Наряду с этими используют и другие единицы измерения: бар, техническая атмосфера (ат), физическая атмосфера (атм), единица жидкосного столба (мм рт.ст., мм вод.ст.). Соотношения между единицами давления представлены в приложении 2.

Гидростатическое давление – давление в неподвижной жидкости. Гидростатическое давление обладает следующими свойствами.

1⁰. В любой точке жидкости оно направлено перпендикулярно поверхности внутрь рассматриваемого объема жидкости.

2⁰. Оно неизменно во всех направлениях.

3⁰. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве.

Уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке покоящейся жидкости при условии действия на нее только силы тяжести, называется основным уравнением гидростатики.

p =p₀ + ρgh, (2.1)

где р₀ – давление на свободной поверхности жидкости, которое передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям без изменения (закон Паскаля); ρ – плотность жидкости; g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения; h – глубина расположения рассматриваемой точки.

Из основного уравнения гидростатики следует, что полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки S на гидростатическое давление р_с в центре тяжести этой площади

Центр давления – точка приложения силы давления от веса жидкости – располагается ниже центра тяжести или совпадает с последним в случае горизонтальной стенки.

где J₀ - момент инерции площади S, проходящей относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости стенки; координата центра тяжести.

Сила давления жидкости на криволинейную стенку определяется как векторная сумма горизонтальной и вертикальной составляющих полной силы:

Горизонтальная составляющая численно равна силе давления на площадь вертикальной проекции стенки:

Вертикальная составляющая численно равна весу жидкости в объеме тела давления:

Телом давления называют объем жидкости, ограниченный данной криволинейной поверхностью, вертикальной поверхностью, проведенной через нижнюю образующую криволинейной поверхности, и свободной поверхностью жидкости.

Рекомендации к решению задач

1. При решении задач на определение давления в некоторой точке покоящейся жидкости следует

1) выбрать поверхность равного давления (поверхность уровня) – любая горизонтальная плоскость на произвольной глубине;

2) рассмотреть на этой плоскости любые две точки и записать выражение для определения абсолютного давления в этих точках, используя основное уравнение гидростатики. При этом, необходимо обратить внимание на знак перед вторым членом правой части уравнения: знак «+» ставится в случае увеличения глубины (давление возрастает), «-» – при подъеме (давление уменьшается);

3) записать уравнение равенства давлений в точках, приравняв правые части записанных выражений;

4) из полученного уравнения выразить неизвестную величину.

2. При решении задач, в которых даны поршни или система поршней, следует

1) составить уравнение сил, приложенных к некоторому подвижному телу (поршню);

2) записать формулы для нахождения каждой из сил, действующих на тело. При этом, давление со стороны жидкости нужно определить, используя основное уравнение гидростатики;

3) подставить полученные зависимости в уравнение равновесия сил и выразить неизвестную величину.

Примеры решения задач

Пример 2.1. Определить абсолютное давление p₀ на поверхности бензина в закрытом резервуаре, если показания ртутного пьезометра h₁, а глубина h₂. Значения плотности бензина ρ_б и ртути ρ_рт взять в табл.4.1 (приложение 4).

Решение:

Выбираем поверхность равного давления на уровне 1-1. Рассмотрим гидростатическое давление на этом уровне со стороны ртутного пьезометра и резервуара.

Давление в любой точке уровня 1-1 со стороны ртутного пьезометра согласно основному уравнению гидростатики

= p_а + g

Давление со стороны резервуара

= p₀ + g

Уравнение равенства давлений на поверхности 1-1

p_а + g = p₀ + g

Выразив отсюда давление p₀, получаем

p₀ = p_а + g( .

П ример 2.2. Определить давление р₁ жидкости, которую необходимо подвести к гидроцилиндру, чтобы преодолеть усилие, направленное вдоль штока F. Диаметры: цилиндра D, штока d. Давление в бачке р₀ (избыточное), высота Н. Силу трения не учитывать. Плотность жидкости ρ.

Решение:

Выбрав за положительное направление действия сил слева направо, запишем условие равновесия поршня: алгебраическая сумма всех сил, действующих на поршень равна нулю:

(1)

где – усилие со стороны жидкости подводимой к гидроцилиндру;

– усилие, создаваемое жидкостью в правой полости. При этом

(2)

Давление со стороны жидкости в баке запишем через основное уравнение гидростатики

Решая совместно уравнения (1) и (2), получим

.

Задачи для практических занятий

Задача 2.1. В U-образную трубку налиты вода и бензин. Определить плотность бензина, если h_б = 500 мм; h_в = 350 мм. Капиллярный эффект не учитывать.

Задача 2.2. В цилиндрический бак диаметром D = 2 м до уровня H = 1,5 м налиты вода и бензин. Уровень воды в пьезометре ниже уровня бензина на h = 300 мм. Определить вес находящегося в баке бензина, если ρ_б = 700 кг/м³.

З адача 2.3. При перекрытом кране трубопровода К определить абсолютное давление в резервуаре, зарытом на глубине Н = 5 м, если показания вакуумметра, установленного на высоте h = 1,7 м, равно р_вак = 0,02 МПа. Атмосферное давление соответствует h_а = 740 мм рт.ст. Плотность бензина ρ_б = 700 кг/м³ .

Задача 2.4. Определить максимальную высоту, на которую можно подсасывать бензин поршневым насосом, если давление его насыщенных паров составляет h_н.п. = 200 мм рт.ст., а атмосферное давление h_а= 700 мм рт.ст. Чему равна при этом сила вдоль штока, если Н₀ = 1 м, ρ_б = 700 кг/м³, D = 50 мм.

Задача 2.5. Определить показание мановакуумметра p_мв, если к штоку приложена сила F = 0,1 кН. Диаметр поршня d = 100 мм, высота H = 1,5 м, плотность жидкости ρ = 800 кг/м³.

З адача 2.6. Определить давление p₁, необходимое для удержания штоком трехпозиционного гидроцилиндра нагрузки F = 50 кН; давление р₂ = р₃ = 0,3 кПа; диаметры D = 40 мм, d = 20 мм.

З адача 2.7. Проходное сечение гидрозамка открывается при подаче в полость А управляющего потока жидкости с давлением р_у. Определить, при каком минимальном значении р_у толкателя поршня 1 сможет открыть шариковый клапан, если известно: предварительное поджатие пружины 2 F = 50 Н; D = 25 мм, d = 15 мм, р₁ = 0,5 МПа, р₂ = 0,2 МПа.

Силами трения пренебречь.

Задача 2.8. Для обеспечения обратного хода гидроцилиндра его полость 1 заполнена воздухом под начальным давлением р₁. Найти размер l, определяющий положение стопорного кольца 2, которое ограничивает ход штока. Размеры цилиндра: D = 150 мм; d = 130 мм; ход штока L = 400 мм. Сила трения поршня и штока 400 Н, давление на сливе p₂ = 0,3 МПа, давление воздуха в начале обратного хода p_1max = 2 МПа. Процесс расширения и сжатия воздуха принять изотермическим.

З адача 2.9. На рисунке представлена схема главного тормозного цилиндра автомобиля в момент торможения. Определить силу F, которую необходимо приложить к педали тормоза, чтобы давление в рабочих цилиндрах передних колес было р₁ =6 МПа. Каким при этом будет давление в рабочих цилиндрах задних колес р₂? При расчете принять: усилие пружины 1: F₁ = 100 Н, пружины 2 F₂ = 150 Н, d = 20 мм, а = 60 мм, b = 180 мм. Силами трения пренебречь.

Задача 2.10. Определить значение силы, действующей на перегородку, разделяющую бак, если ее диаметр D = 0,5 м, показания вакуумметра р_вак = 0,08 МПа и манометра р_м = 0,1 МПа.

Задача 2.11. Определить силу, действующую на болты крышки бака, если показания манометра р_м = 2 МПа, угол наклона крышки α = 45°. В сечении бак имеет форму квадрата со стороной а = 200 мм.

Задача 2.12. Определить силы, действующие со стороны воды на верхние F_в и нижние F_н болты крышки, которая имеет форму прямоугольника с высотой а = 0,64 м и шириной b = 1,5 м. Показание ртутного вакуумметра h_рт = 150 мм, высота h = 2,2 м.

З адача 2.13. Определить силу суммарного давления на торцевую плоскую стенку цилиндрической цистерны диаметром D = 2,4 м и точку ее приложения. Высота горловины h_г = 0,6 м. Цистерна заполнена бензином до верха горловины.

Задача 2.14. Цистерна диаметром D =2,2 м заполнена бензином (ρ = 720 кг/м³) до высоты D/2. Определить силу давления на торцевую стенку, если цистерна закрыта и избыточное давление в ней p_0изб = 0,1·10⁵ Па.

Задачи для самостоятельной работы

З адача 2с.1. Определить абсолютное давление воздуха в баке p₁, если при атмосферном давлении, соответствующем h_а, показание ртутного вакуумметра h_рт, высота h. Каково при этом показание пружинного вакуумметра? Плотность ртути ρ = 13600 кг/м³.

Величина	Варианты
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
hрт, м	0,25	0,3	0,15	0,1	0,2	0,1	0,25	0,2	0,15	0,1
h, м	1,2	1,7	1,5	1,8	1,5	1,2	1,8	1,4	1,3	2,0
hа, мм рт.ст	740	760	745	750	760	740	755	750	745	760

Задача 2с.2. Определить силу F на штоке золотника, если показание вакуумметра р_вак, избыточное давление р₁, высота Н, диаметры поршней D и d, плотность жидкости ρ.

Величина	Варианты
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D, мм	20	15	30	20	25	20	30	25	25	20
d, мм	15	10	15	10	20	15	20	15	10	10
Н, м	3	1,5	2	2,5	3	1	2	3	2,5	1,5
рвак, кПа	60	50	30	60	50	40	30	60	20	50
р1, МПа	1	1,5	0,5	1	2	1,5	0,5	1	1	0,5
ρ, кг/м^3	1000	850	860	880	1000	900	950	880	850	900

З адача 2с.3. Определить силу преобразования F, развиваемую гидравлическим прессом, у которого диаметр большего плунжера D, меньшего d. Большой плунжер расположен выше меньшего на величину Н. Рабочая жидкость с плотностью ρ. К рычагу приложено усилие R. Отношение плеч рычага равно а/в.

Величина	Варианты
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
R, H	250	240	230	220	210	200	230	240	250	260
D, мм	500	600	600	500	400	600	350	200	400	300
d, мм	30	100	50	40	80	150	35	25	40	70
Н, м	1	1,5	2	1	1,5	2	3	1	2	1,5
a/b	12	10	8	10	12	14	10	9	12	15
ρ, кг/м^3	850	900	880	870	850	1000	900	870	850	1000

  Задача 2с.4. Определить величину предварительного поджатия пружины дифференциального предохранительного клапана, обеспечивающую начало открытия клапана при давлении р_н. Диаметры клапана D, d; жесткость пружины k. Давление справа от большого и слева от малого поршней – атмосферное.

Величина	Варианты
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
рн, МПа	0,8	1,5	3	1	1,2	1,8	2	2,2	2,4	2,6
D, мм	24	22	22	24	20	20	18	28	28	24
d, мм	18	18	20	20	18	16	16	22	24	18
k, Н/мм	6	7	8	5	4	6	7	8	4	7

З адача 2с.5. Замкнутый резервуар разделен на две части плоской перегородкой, имеющей квад­ратное отверстие со стороной а, закрытое крыш­кой. Давление над жидкостью Ж в левой части резервуара определяется показаниями манометра р_м, давление воздуха в правой части – показани­ями мановакуумметра р_вак. Определить величину и точку приложения результирующей силы давления на крышку.

Величина	Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ж	В	Б	К	В	Мтр	Г	Н	К	Мтурб	Б
рм, ат	0,8	0,9	0,7	0,8	0,5	0,9	1,0	0,3	1,0	0,5
рвак, ат	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2	0,2
a, мм	200	300	400	100	200	300	200	100	400	200

Обозначения: Б – бензин, В – вода, Г – глицерин, К – керосин, М_тр – масло трансформаторное, М_турб – масло турбинное, Н – нефть.