5.2 Мощность

Очень важным является вопрос о том, как быстро совершается

механическая работа. Поэтому вводится величина, показывающая, ка-

кую работу данная сила /данный механизм/ совершает в единицу вре-

мени. Эта физическая величина называется мощностью. Таким обра-

зом мощность есть величина, равная отношению работы к про-

межутку времени, за который она совершается:

= t /1/

Соответственно мгновенное значение мощности вводится как произ-

водная от работы по времени:

ddt /2/-

Пусть за время t точка приложения силы получает приращение

S. Тогда элементарная работа  совершаемая за время t,

будет равна FS

и мощность можно представить в виде

tFSt=F

или

F_ /3/

За единицу мощности принимается такая мощность, при которой

за единицу времени /с/ совершается работа, равная единице /Дж/.

В СИ она носит название ватт /Вт/.

5.3 Силы консервативные и неконсервативные,

поле сил,

В каждой точке пространства на тело может действовать опреде-

ленная сила. В таком случае пространство представляет собой поле

сил. Например, тело вблизи поверхности Земли находится в поле сил

тяжести -- в каждой точке пространства на него действует сила F_т=

=mg , направленная по вертикали вниз.

Если работа, совершаемая над телом, не зависит от пути, а оп-

ределяется только начальным и конечным положениями тела в прост-

ранстве, то поле сил называется потенциальным, а сами силы - кон-

сервативными /потенциальными/. Силы, работа которых зависит от

формы пути, по которому тело проходит из одного положения в дру-

гое, называются неконсервативными.

Работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю.

Поэтому потенциальное поле сил можно определить как поле таких

сил, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю. Посколь-

ку работа в потенциальном поле сил на замкнутом пути равна нулю,

на одних участках замкнутого пути силы совершают положительную

работу, а на других -- отрицательную.

Докажем, что поле сил тяжести является потенциальным. Сила,

действующая на тело в любой точке траектории, имеет одинаковую

величину F_т= mg и направление -- вниз по вертикали /См. рис /

Поэтому работа равна

=F_тсos dr =mgdh=mgh

Это выражение, очевидно, не зависит от пути, откуда следу-

ет, что.поле сил тяжести потенциально¦

Поле центральных сил /т.е. сил, величина которых зависит

только от расстояния до некоторого центра, а направление прохо-

дит через этот центр/ также потенциально. В этом мы убедимся рас-

сматривая, например, работу кулоновских сил.

5.4 Энергия. Закон сохранения энергии

Физическая величина, характеризующая способность тела или

системы тел совершать работу, называется энергией. Энергия тела

может быть обусловлена либо движением тел, либо их взаимным рас-

положением. Отсюда следует понятие кинетической и потенциальной

энергии. Кинетическая энергия - это энергия движения, потенциаль-

ная энергия -- это энергия положения.

Кинетическая энергия. Кинетическая энергия тела измеряется

работой, которая совершается телом при изменении его скорости.

Пусть при перемещении тела из точки В в точку С /см.рис/

совершается работа А под действием силы F . Указанную

работу можно представить следующим образом:

F_dS=ma_dS=md/dtdS=md=m₂²/2m₁²/2

Кинетическая энергия тела зависит от скорости тела

E_к= m²/2 /1/

Следовательно, кинетическая энергия является относительной вели-

чиной, зависящей от выбора системы отсчета. Приращение кинети-

ческой энергии может быть записано следующим образом:

_К=_К2-_К1= m₂²/2-m₁²/2 /2/

Кинетическая энергия как и работа -скалярная величина, однако в

отличие от работы всегда Е_К 0 , т.к. ²

Потенциальная энергия. Потенциальная энергия, обусловленная

расположением тел относительно друг друга или отдельных частей

одного и того же тела, может быть как положительной Е_n

так и отрицательной по знаку _n < 0 . Если _n , то тело

способно совершить работу над окружающими телами, при этом его

потенциальная энергия уменьшается /стремиться к нулю/. Если же

E_n , то, чтобы тело перевести в состояний с E_n= 0,

необходимо над телом произвести соответствующую работу, т.е. в

этом случае работают окружающие тела. Например, электрон в атоме

обладает отрицательной потенциальной энергией, и чтобы удалить его

на"бесконечность", где Е=0, необходима работа внешних сил.

Поэтому величина потенциальной энергии тела измеряется работой,

которую тело может совершить .

Энергия измеряется в тех же единицах, что и работа - в джоу-

лях.

Рассмотрим несколько наиболее значительных примеров накопле-

ния телом потенциальной энергии.

Потенциальная энергия упругой деформации, В п.5. 1 мы получи-

ли выражение для работы силы растяжения или сжатия пружины. Пос-

кольку потенциальная энергия упругой деформации в точности равна

указанной работе, то можно записать:

Е_n=kx²/2 /3/

Потенциальная энергия упругого сжатия будет положительна по знаку

и при сжатии, и при растяжении пружины. На рис.

представлен график зависимости потенциальной энергии пружины от ее удлинения.

Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту. В п.5.3 полу-

чено выражение для работы силы тяжести. Тело, поднятое на высоту

h способно совершить такую работу и, следовательно, обладает

потенциальной энергией:

Е_n=mgh /4/

Из простых соображений понятно, что работа силы тяжести по подъ-

ему тела на высоту h , а также работа силы упругости при сжа-

тии /растяжении/ пружины на x отрицательны по знаку. Осуществить

эту работу способны лишь внешние силы. Поэтому приращение потен-

циальной энергии равно работе внешних сил, произведенной над дан-

ным телом, взятой с обратным знаком:

Е_n= -_вн. /5/

Потенциальная энергия электрического заряда, находящегося в

поле другого электрического заряда. Подробно этот пример будет

рассмотрен в другом разделе физики /электростатика/., здесь лишь

отметим, что при одинаковом знаке зарядов потенциальная энергия

будет положительна, а при противоположном -- отрицательна.

Связь между потенциальной энергией и силой. Получим формулу,

связывающую потенциальную энергию и силу. Этой формулой часто пользуются, если известно распределение потенциальной энергии /потенциала/ в пространстве. Вычислим элементарную работу силы d

при малом перемещении тела dr , происходящего вдоль произволь-

но выбранного направления в пространстве . Введем прямоу-

гольную систему координат Х,У,Z / см. рис. /

Элементарная работа может быть представлена в виде:

d = (Fdr) /6/

В свою очередь вектора F и dr можно разложить в пространстве

на три составляющих вектора:

F=F_xiF_yj+F_zk /7/

dr=idx+jdy+kdz /8/

После подстановки /7/ и /8/ в /6/ и осуществления скалярного по-

членного перемножения получим:

d=F_xdx+F_ydy+F_zdz /9/

Пусть в данном случае работа осуществляется за счет запаса потен-

циальной энергии: ddE_n

Поэтому будем иметь:

dЕ_n= - (F_xdx+F_ydy+F_zdz) /10/

Приращение потенциальной энергии dЕ_n представляет собой ~ФФЩ

так называемый полный дифференциал:

Сравнивая /10/ и /11/ , получим:

откуда следует

В математике векторный оператор

называется градиентом. Градиент скалярной функции - это вектор,

показывающий направление увеличения этой функции. Применяя

указанную символику, можно записать:

Таким образом, сила, действующая на тело, направлена в сторону

убывания потенциальной энергии. Примером тому служит направления

силы тяжести F_т, упругой силы F_упр , кулоновская сила F_к и др.

Закон сохранения энергии в механике. Закон сохранения энергии

в механике представляет собой частный случай всеобщего закона

сохранения энергии в природе. В нем речь идет о постоянстве полной энергии. Полной энергией тела в механике называют сумму кинетической и потенциальной энергии данного тела:

Е_i = Е_{n i} +Е_{k i} /13/

Полной энергией системы тел является сумма полных энергий тел,

входящих в данную систему

где N - число тел системы. Закон гласит :

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной:

E =const /15/

Формула /15/ может быть выведена теоретическим путем.

Если в замкнутой системе, кроме консервативных, действуют еще

неконсервативные силы, например, силы трения, то полная механическая энергия системы не сохраняется.