Сравнивая выражения /1/ и /3/, мы убеждаемся в равенстве их правых частей, поэтому можем приравнять левые части этих уравнений:

/4/

волновое уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси

х-ов. Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных.

Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся произвольно по отношению к оси х - ов, будет иметь вид:

/5/

В математике вводят специальный оператор, называемый оператором Лапласа :

/6/

С применением оператора Лапласа /лапласиана/ волновое уравнение /5/ принимает вид:

Если при анализе какого-либо процесса, мы получим уравнение типа /7/, то это значит, что мы имеем дело с волновым процессом, с волной, распространяющейся со скоростью v.

9.4 Интерференция волн. Стоячие волны.

Интерференция волн /суперпозиции волн/ - это наложение волн друг на друга. Волны называются когерентными, если в каждой точке волнового ноля, в любой момент времени они обладают постоянной разностью фаз. Когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. При наложении когерентных волн возникает интерференционная картина, заключающаяся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Рассмотрим наиболее важный случай интерференции, имеющий место при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой.

Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей на встречу отраженная, налагаясь дают стоячую волну.

Пусть вдоль оси х-ов распространяются прямая и обратная плоские волны, уравнения которых имеют вид:

В данном случае результирующее колебание получается путем алгебраического сложения:

/3/

Воспользуемся тригонометрическим тождеством:

Поэтому /3/ можно представить в виде:

/4/

уравнение стоячей волны. Амплитуда стоячей волны зависит от х. В точках, где амплитуда достигает максимальных значений . В точках, где амплитуда обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны, а точки, в которых амплитуда смещения удваивается, называются пучностями стоячей волны.

Получим расстояние между соседними (узлам) /т.е. определим длину стоячей волны

Таким образом должна стоячей волны равна половине длины бегущей волны.

Графически стоячая волна выглядит так:

В соседних полуволнах колебания частиц имеют противоположную фазу, или, как говорят, сдвиг по фазе составляет . В отличие от бегущей волны в пределах одной полуволны колебания всех точек происходят в одной и той же фазе, но с различной амплитудой.

Очень часто стоячие волны используют для определения скорости

распространения волн. Это достигается с помощью так называемого

интерферометра. В звуковом интерферометре источником звука /источником волны/ является мембрана или пьезоэлектрическая пластинка 1/см. рис /. Имеется отражатель /рефлектор/ 2. Перемещая рефлектор, мы получим систему стоячих звуковых волн. Если при перемещении рефлектора на расстояние возникло узлов, то скорость распространения звука получим из формулы:

Т.е. для определения скорости нужно измерить длину стоячей волны и частоту звуковых колебаний