11. Частные производные высших порядков функции n переменных.

Пусть u=f(x) диф в окрестной точке х0,значит в окр точке сущ. частные производные Пусть частные производные сущ. в каждой точке области D ∂u/∂x_i=di=1,n, если она сущ в каждой обл D то её можно рассматривать как некоторую функцию нескольких переменных, заданных на обл D следовательно у неё существуеют частные производные d'u/d'xi, i=1,...,n: d'/d'xk(d'u/d'xi)=d^2u/(d'xid'xk)

Частная производная взятая от d'u/d'xi, i=1,...,n по переменной Хк называется частной производной второго порядка и обозначается d'^2u/d'xid'xk, i=1,...,n шне равно к, если I=k, то она обозначается как d'^2u/d'xi^2

Смешанные частные производные второго порядка для непрерывной функции равны. Аналогично, равные смешанные частные производные 3, 4 и т.д.

Теорема.Пусть ф-я диф к-раз в точке х0,то в этой точке значение любой смешанной частной производной к-го порядка(последовательности), где происходят последовательное диф, т.е. ∂²u/∂x_i∂x_j =∂²u/∂x_i∂x_j

12. Локальный экстремум. Необходимые условия.

Пусть функция u = f (х) f(x1^0,x2^0,...,хn^0)

Определение. Функция u= f(x) определена в окрестной точке х0 имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки xo, такая что в её пределах значение f(x) явл наиб(наим) среди всех значений этой функции.

Определение ф-я u=f(x) имеет в точке ч0 локальный экстремум если она имеет в этой точке либо лок макс, либо лок мин

Теорема (необходимое условие)

Если функция u = f(x1,x2,...,xn) имеет в точке хo (х1^0, x2^0,...,xn^0) локальный экстремум и частные производные первого порядка, то все эти частные производные равны нулю в точке Mo: d''u/d''xilMo=0, i=1,2,…,n.(!)

Доказательство. Зафиксируем все значения переменных xi, кро­ме переменной хk положив их равными x1^0. Тогда получим, что функция u = f(x1^0, х2^0, ...,x(k-1)^0,xk,x(k+1)^0,...,x(n)^0) зависит от одной переменной хk и в точке хk = хk^0 имеет локальный экстремум. Но тогда производная этой функции, которая и является частной производной d''u/d''xк в точке Mo,равна нулю, что и требовалось доказать. а

Заметим, что необходимые условия локального экстремума (!) определяют, что в точке локального экстремума d''ulMo=0.(*). Обратное утверждение также верно: если в точке Мo первый дифференциал функции тождественно равен нулю (как функция относительно ), то все частные производные этой функции в указанной точке равны нулю в силу произвольности d''xi.

Замечание Данное условие явл.необходимым,но не достаточным

Определение.Точки которорые обращаются в ноль все частные производные первого порядка,назыв стационарными точками или точками возможного экстремума ,он может существовать,а может не сущ его наличие можно установить только достаточным условием

Следствие.Если u=f(x) имеет в точке х0 диф и имеет лок экстр то диф в точке х0 тождественно равен 0 относительно диф dxj

13. Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.

Пусть функция u=f(M) один раз дифференцируема в некоторой окрестности точки Мо и два раза дифференцируема в самой точке Мо, пусть кроме того Мо – стационарная точка. Тогда:

1. Если d''^²u в точке Мо положительно определенная квадратичная форма относительно переменных d''x1,d''x2,…,d''xn, то Мо – точка локального минимума

2. Если d'^²u в точке Мо отрицательно определенная квадратичная форма, то Мо – точка локального Максимума.

3. Если d'^²u в точке Мо знакопеременная квадратичная форма, то экстремум в точке Мо не существует.

Частный случай:

[Т] пусть функция u=f(x,y) один раз дифференцируема в окрестности точки Мо с координатами (хо,уо) и два раза дифференцируема в самой точке Мо и пусть Мо – стационарная точка, тогда если в точке Мо выполнено условие:

, (d'^2u/d'x^2*(M0))* (d'^2u/d'y^2*(M0))-(d'^2u/d'xd'y)^2>0 то функция имеет в точке Мо локальный экстремум, причем если d'^2u/d'x^2в точке Мо>0 , то Мо точка локального минимума.

Если d'^2u/d'x^2 (Мо)<0 то Мо точка локального Max

Если же (d'^2u/d'x^2*(M0))* (d'^2u/d'y^2*(M0))-(d'^2u/d'xd'y)^2<0 то экстремум в точке Мо не существует.

Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.

Рассмотрим функцию специального вида. Квадратичная форма:

Функция Ф(t1,t2,…,tk)= E(i=1,k)E(k=1,n)aiktitk называется квадратичной формой, где Аik коэффициенты квадратичной формы, t1,t2,…,tn- переменные квадратичные формы, d''^²u квадратичная форма относительно d''x1, ….,d''xn c коэффициентом Aik=.d''^2/ud''xid''xk Если Aik=Aki, то квадратичная форма называется симметричной. Данной квадратичной форме ставится в соответствие матрица коэффициентов квадратичной формы.

Матрицей А размера mXn называется прямоугольная таблица чисел содержащая m строк и n столбцов.

Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов.

Симметричной: Aik=Aki

Определителем матрицы называется число характеризующее матрицу d'etA

Существуют способы вычисления d'et:

Минор- некоторый фрагмент матрицы.

Главными минормаи матрицы А называются следующие определители:

А1=А1.1

А2=а1.1*А2.2-А2.1*А1.2

А3=А1.1*А2.2*А3.3+А2.1*А2.2*А1.3+А3.1.*А2.2*А1.3-А3.2.А2.3А1.1-А2.1А12А33

Аm=d'etA

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любых значений t1,t2,…,tn одновременно не равных 0 она принимает строго положительные значения.

Квадратичная форма называется отрицательно определенной если для любых значений неравенств t1,t2,…tn она принимает строго отрицательные значения.

Квадратичная форма называется знакопеременной если она принимает как строго положительные, так и строго отрицательные значения при разлиынх наборах t1,t2,…tn

Критерий Сильвестра знакопеременной квадратичной формы:

1. Для того, чтобы квадратичная форма или матрица была положительно определнной необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были положительными.

2. Для того чтобы квадратичная форма или мтарица была отрицательно определнной необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем первый был отрицательный.

Замечание: если хоть одно из условий не выполняется, то форма знакопеременная