20. Интегрирование рациональных функций

Важным классом функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции,образуют класс рациональных функций,т.е. функций кот. Моно представить в виде Р(х)/Q(х), где Р,Q-многочлены в некоторой степени х

Р(х)=а_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀-общий вид

Р(х)=ах²+bx+c=a₂x²+a₁x+a₀

P(х)=ax+c= a₁x+a₀

Если степень многочлена в числители равна и больше степени многочлена в знаменателе, то выполнить деление можно,выделив верхнюю часть P(x)/Q(x)=V(x)+R(x)/Q(x) Степень R(x)<Q(x), a V(x)-многочлен некоторой степени.

[Т1] Каждый многочлен может быть представлен в виде Q(x)=A(x-a₁)^₁ (x-a₂)^_2….. (x-a_k)^_k Или Q(x)=(x²+p₁x+q₁)^1 (x²+p₂x+q₂)^2……… (x²+p_lx+q_l)^l (*)

А-коэффициент при старшей степени х

[Т2-о разложении рац функции на элементар множители] Если рациональная функция имеет степень многочлена числителя n меньше, чем степень многочлена знаменателя m и многочлен Q(x) имеет вид (*), то эту функцию можно единственным образом представить в виде:

= … … … …+ … (**)

Метод неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов

Он заключается в том, чтобы следовать алгоритму: Записать представление 1, привести правую часть к общему знаменателю и группировать при степенях Х, получим дроби с равными знаменателями, присваиваем числители. Получим 2 многочлена, они равны если равны коэффициенты при соответствующих степенях Я, следовательно составляем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях Х.

Вычисление интегралов 1-4типов.

Основные типы интегралов, берущихся по частям.

1. А/х-а dx= Ad(x-a)/x-a=Aln|x-a|+C

2. Аdx/(х-а)^k=A (х-а)^-kd(x-a)=A(x-a)^1-k/1-k+C (k1)

3.  dx=M/2 +N =M/22x+p/x²+px+q dx +(N-MP/2)dx/ x²+px+q=M/2ln| x²+px+q|+(N-MP/2)dt/t²+a²

x²+px+q=( x²+2p/2x+p²/4)+q-p²/4=(x+p/2)²+(q-p/4)=т.е.  dx=M/2(x²+px+q)^-kd(x²+px+q)+(N-Mp/2)

dt/(t²a²)^k=M/2(x²+px+q)^1-k/1-k +(N-MP/2)Ik

21. Интегрирование иррац. И трансцендентных функций.

Предварительно введем обозначение рац. Функции от двух переменных u v, т.е. функции получающиеся из двух переменных u v и некоторых постоянных, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления

1. Интеграл вида ,где a,b,c,d числа R рац. Функция от х и от Такой интеграл рационализируется подстановкой t=

2. Интеграл вида ,где a,b,c,d некоторые числа а не рвно 0 R рац. Функция от х и от

3. Интеграл вида SR(sin, cos)dx, где Rрац функция от SIN и от COS. Интеграл рационализируется подстановкой t=tgx/2

4. Интеграл вида SR(e^x)dt рац подстановкой t=e^х.

22. Понятие определенного интеграла.

Пусть λ=max∆I – длина наиб. Частичнго отрезка λ→0.

Если существует конечный предел I интегральных сумм  при 0, то этот предел называется определенным интегралом Римана для функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается I= = (**)

D'ef функция f(x) называется интегрируемой на [a,b] если для любой последовательности разбиений {Xk}, у которой соответствующая последовательность интегральных сумм {k} стремится к одному и тому же числу I.

D'ef Число I называется определенным интегралом по Риману для функции f(x) оп отрезку [a,b], если для любого >0 сущесвтует такое >0, что при  (т.е. если отрезок [a,b] разбит на части с длинами Xi<) независимо от выбора точек I выполняется неравенство , или же

Замечание.Число I называется определенным интегралом Римана от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается так: I= , где а- нижний предел, b- верхний предел

Следует отметить, что = =