31. Операции над нечеткими множествами (кроме алгебраических)

Операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие им операции над обычными множествами, при этом обобщение может быть реализовано различными способами, поэтому каждой операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств. 

Операции могут быть унарными и бинарными. Различаются три основных операции: взятие дополнения, пересечения и объединения. 

Любые операции над нечеткими множествами выполняются и определяются через действия над их функциями принадлежности. 

Приоритет операций:

1. Дополнение2. Пересечение3. Объединение

Дополнение нечеткого множества А (не А или А'), заданного на УМ(универсальное множество) Е, называется нечеткое множество С=не А  с функцией принадлежности nuC(x)= nuнеА(х)=1-nuA(x) для любого х из Е. Операция дополнения удобна для перехода от нечеткого множества допустимых значений к нечеткому множеству допустимых значений. Частица отрицания не наиболее близка по смыслу к этой операции. 

Объединением нечетких множеств А и В, заданных на УМ Е, называется нечеткое множество С=А U B с функцией принадлежности nuC(x)=max(nuА(x), nuB(x)) для любого х из Е. Примечание: результирующее множество С является наименьшим нечетким подмножеством, включающим как А, так и В. Может быть выражена через знак дизъюнкции: nuC(x)=nuA(x)vnuB(x). Наиболее близка по смыслу соединительному союзу ИЛИ, причем ИЛИ разливается в жестком и мягком смысле. В жестком это определение данного абзаца, а в мягком это определение алгебраической суммы. 

Пересечением нечетких множеств А и В, заданных на УМ Е, называется нечеткое множество С=А П В с функцией принадлежности nuC(x)=min(nuA(x), nuB(x)) для любого х из Е. Примечание: результирующее множество С называется наибольшим нечетким подмножеством, содержащимся одновременно и в А, и в В. Операцию пересечения можно выразить через знак конъюнкции: nuC(x)=nuА(x)^nuB(x). Близка по смыслу к соединительному союзу И, причем различают в жестком (данное определение) и мягком смысле (алгебраическое произведение). 

Содержание

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если "x ОE mA(x) <mB(x).

Обозначение: A М B.

Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае если A М B, говорят, что B доминирует A.

Равенство

A и B равны, если "xОE mA(x) = mB (x).

Обозначение: A = B.

Разность

А - B = АЗ с функцией принадлежности:

mA-B(x) = mA З (x) = min( mA(x), 1 - m B(x)).

Дизъюнктивная сумма

АЕB = (А - B)И(B - А) = (А З ) И( З B) с функцией принадлежности:

mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }

32. Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраические операции над нечеткими множествами:

1) алгебраическую сумму

С=А^+В с функцией принадлежности:

НюС(х)=нюА(х)+нюВ(х)-нюА(х)*нюВ(х)

Примечание: в случае обычных множеств:

А*В=А П В

А^+В=А U B

2) алгебраическое произведение

С=А*В с функцией принадлежности:

НюС(х)=нюА(х)*нюВ(х)

3) операцию умножения на число

4) операция возведения в степень (частн. концентрирование и растяжение)

Для операций выполняются свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

A×Æ = Æ, A Æ = A, A×E = A, A E = E

- теоремы де Моргана.

Не выполняются:

- идемпотентность;

- дистрибутивность;

а также A× = Æ, A = E.

Примечание: при совместном использовании операций объединения, пересечения, а так же алгебраической суммы и пересечения, свойство дистрибутивности выполняется.