34. Нечеткие отношения

Нечетким отношением на множестве называется нечеткое подмножество декартова произведения , которое характеризуется такой функцией принадлежности , что  . Причем  принимается как субъективная мера выполнения отношения .

П ример Пусть заданы:

а) четкое отношение , где ;

б) нечеткое отношение ;

На рис. 9.6.а приведены пары  из интервала , связанные отношением ,то есть такие, что . Они образуют множество точек заштрихованной области, которые отделены четкой границей - диагональю от других точек.

Строя нечеткое отношение  на единичном квадрате, убеждаемся, что существуют пары , которые можно определенно отнести ко множеству  (например, точка ), а также те, которые определенно не принадлежат  (например, )

Кроме того имеется несчетное множество пар , о принадлежности которых к множеству  можно судить лишь приблизительно с определенной субъективностью (например, точка ). Поэтому нечеткое множество  характеризуется отсутствием четкой границы от дополнительного множества , и степень принадлежности  пары  следует характеризовать плотностью штриховки (рис. 9.6. б). Можно рассмотреть некоторые сечения отношения  при фиксированном  .

Соответствующее семейство функций  приведено на рис. 9.6.в. Если отношение  на конечно, то его функция принадлежности  задается в виде квадратной матрицы  с элементами . Если , то это означает, что степень выполнения отношения  равна .

Носителем нечеткого отношения  на множестве  называется подмножество декартова произведения , определяемое так:

supp .

35. Операции над нечеткими отношениями

Пусть на множестве заданы два нечетких отношения и с функциями принадлежности . Тогда множество представляет собой объединение нечетких отношений и  на множестве ,если его функция принадлежности определяется выражением

 .

Аналогично множество является пересечением нечетких множеств  и , если

 .

Можно ввести также операции сильного объединения и сильного пересечения, аналогичные операциям над нечеткими множествами (см. определение 9.6, 9.8).

Нечеткое отношение включает в себя нечеткое отношение   , если для них выполняется соотношение   .

Если -нечеткое отношение с функцией принадлежности , то отношения , характеризующееся функцией принадлежности    называется дополнением  на множестве

Обратное к  отношение на  определяется следующим образом: , при этом функции принадлежности связаны между собою равенством .

36. Операции композиции нечетких отношений и нечеткой импликации, их значение для нечеткого логического вывода.

На практике нечеткая логика применима особенно тогда, тогда мы имеем дело с приближенными рассуждениями – приближенными оценками, приближенными правилами и т.п.

Пусть R₁ - нечеткое отношение R₁: (X´ Y)®[0,1] между X и Y, и R₂ - нечеткое отношение R₂: (Y´Z)® [0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R₂·R₁, определенное через R₁ и R₂ выражением

m_R1·R2 (x,z) = [m_R1 (x,y)Lm_R1(y,z)],

называется (max-min)-композицией отношений R₁ и R₂.

Свойства max-min композиции

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

R₃·(R₂·R₁) = (R₃·R₂ )·R₁,

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

R₃·(R₂È R₁) = (R₃·R₂)È (R₃·R₁),

R₃·(R₂Ç R₁)¹(R₃· R₂)Ç(R₃· R₁).

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если R₁ÌR₂ то, R·R₁ ÌR·R₂.

(max-*) - композиция

В выражении m_R1·R2(x, z) = [m_R1(x, y)Lm_R2(y, z)] для (max-min)-композиции отношений R₁ и R₂ операцию L можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для L: ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:

m_R1·R2(x, z) = [m_R1(x, y)*m_R1(y, z)]

В частности, операция L может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max - prod)-композиции.

• Основная операция логического вывода – это импликация. Обычно в качестве импликации используется t-норма типа логического произведения:

x₁®x₂ = x₁Lx₂

m_R(x,y) = m_A®B(x,y) = (1-m_A(x)+m_B(y)) L 1

Если дано знание эксперта в виде нечеткого отношения R=A®B, то процесс получения нечеткого результата вывода B' с использованием данных наблюдения A' и знания A®B можно представить как B' = A'•R = A'•(A®B), где '·'- т.н. композиционное правило нечеткого вывода.