Принцип и соотношения неопределённостей

С остояние движения материальной точки полностью определено, если знаем её положение и скорость. С частицами – все не так. Пусть электрон заключен между двух стенок. Сжимаем стенки. Если частица имеет строго определенную координату в пространстве, то ее положение локализовано. 1)степень локализации - наименьшая, 2)-наибольшая. Величину Δ

2)

x, характеризующую ширину волновых пакетов называют неопределённостью координаты x. Чем меньше неопределенность, тем точнее известна координата x.Точность, с которой известно положение частицы Δx зависит от ее состояния движения, а значит и от вида волновой функции. Аналогичны соображения и для импульса. Так как импульс связан с длиной волны соотношением де Бройля, степень определенности импульса зависит от определенности величины λ. Если длина волны плохо определена, то плохо определен и импульс. Чтобы говорить о длине волны, волновая функция должна иметь периодичность. Т.е. точность определения импульса зависит от волновой функции частицы, а значит, от состояния ее движения. На рисунке, что при уменьшении Δx, увеличивается Δp. Если увеличивается локализация частицы, т.е. уменьшается Δx , то растет неопределенность импульса - увеличивается Δp . И наоборот. Сам принцип: реальные состояния частиц таковы, что координата и импульс, связанные с одним и тем же направлением не могут быть одновременно точно определены. Зная Δx мы не можем узнать Δp.

Δx=nλ , => => =>

В общем случае пси может быть не синусоидой, тогда слагаемых ряда Фурье больше и Δp больше.

точное - . ΔE – неопределённость энергии состояния частицы, Δt –время жизни состояния частицы. .

40. Квантовый гармонический осциллятор. Волновые функции и энергетический спектр.

Г армоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы .Потенциальная энергия такой частицы имеете вид . Собственная частота гармонического осциллятора равна , где m-масса частицы. Отсюда . В одномерном случае . Поэтому уравнение Шрёдингера, описывающее стационарные состояния осциллятора имеет вид (2).

Волновые функции, характеризующие состояние частицы в одномерной бесконечно глубокой яме, и волновые функции квантового гармонического осциллятора имеют много общего: как у волновых функций, так и у плотности вероятности.

Однако есть принципиальное различие, Двигаясь в бесконечно глубокой потенциальной яме, частицы не могут выйти за пределы ямы. В случае осциллятора это ограничение остается лишь для классической частицы. Ее координата не может превышать величину амплитуды колебаний, то есть . В точках происходит изменение движения частицы на противоположное под действие возвращающей силы. Квантовая частица имеет конечную вероятность оказаться в результате своего движения за пределами квадратичной потенциальной ямы.

Уравнение (2) имеет конечные, однозначные и непрерывные решения при значения параметра Е равных:

На рис.1 дана схема энергетических уровней гармонического осциллятора. Для наглядности уровни вписаны в кривую потенциальной энергии. В отличие от классического осциллятора спектр энергий получается квантованным. Величина полной энергии определяется частотой и квантовым числом n.

С низу спектр энергий ограничивается значением . Уровень, соответствующий этому значению энергии, является основным уровнем осциллятора. Два любых соседних уровня разделены одинаковым промежутком . Такое расположение уровней называется эквидестантным. Так как минимальное значение энергии , то квантовый осциллятор в принципе не может находиться в покое. Колебания осциллятора с энергией Гармонический осциллятор Яма с бесконечной энергией называются нулевыми колебаниями. Их существование непосредственно вытекает из принципа неопределенности. Если бы у квантового осциллятора наблюдалось состояние покоя, то при этом частица находилась в точке равновесия. О означает, что неопределенность ее координаты . Тогда неопределенность импульса , согласно принципу Гейзенберга, должна стремиться к бесконечно большой величине. По этой причине осциллятор должен обязательно обладать конечной (не равной нулю) энергией.

Имеется еще одно интересное свойство, связанное с изменение энергии квантового осциллятора. Оказывается, существует определенное правило отбора, которое ограничивает возможность изменения квантового числа n при переходе осциллятора из одного состояния в другое. Согласно этому правилу n может изменяться только на единицу: . Это означает, что энергия осциллятора может изменяться лишь порциями, равными по величине ( величина энергии фотона ). Частица, переходя на более низкий уровень излучает фотон, а поглотив фотон с энергией, необходимой для перехода на более высокий уровень, занимает его.