3. Различные способы определения вероятности.

Пусть пространство элементарных событий Ω. состоит из конечного числа элементарных событий {ω1, ω2,…,ωn } , кото­рые равноправны по отношению друг к другу. Вероятность Р(А) события А можно определить как долю тех элементар­ных событий, в результате которых это событие осуществля­ется: Р(А) =m/n, где n - общее число элементарных событий в Ω, a m - число тех из них, которые входят в А , или, как го­ворят, благоприятствуют А . аксиоматическое определение вероятности.

Числовая функция Р(А) , определенная на алгебре событий F, называется вероятностью, если вы­полнены следующие условия:

1) Р(А) ≥ 0 для любого а € F

2)P(Ω) = 1 ;

3)если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Число Р(А) называется вероятностью события А. Определение. Тройка (Ω, F, Р) называется вероятно­стным пространством.

Р(А) = m/n, формула, первоначально принятая за определение вероятности.

Пример 10. Монета подбрасывается три раза. найти Р(А) и Р(В) .

Решение. В Ω входит восемь элементарных событий ({(ГГГ), (РГР), (ГРГ), (ГГР), (РРГ), (РГГ), (ГРР), (РРР)}), в А - три, в В - четыре. получаем А = {(РРГ), (РГР),(ГРР)}, В = {(РРГ),(РГР),(ГРР),(РРР)}. Поэтому Р(А)=3/8, Р(В)=4/8 =1/2.

4. Теорема сложения вероятностей для совмест­ных событий.

Пусть задано вероятностное пространство (Ω,F,P) и A € F, В € F. Тогда вероятность появления хотя бы одного

из событий А или В равна

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Следствие (вероятность противоположного события).

Р(А)=1-Р(А).

Определение. События А₁,А₂,...,А_n называются попар­но несовместными, если Ai ∙Aj=ᴓ для ^всех i≠j .

Пример. Брошены две игральные кости. Чему равна вероят­ность того, что хотя бы на одной из них выпадет 5 очков?

Решение. Введем событие А= (5 очков выпало на пер­вой кости) и В= (5 очков выпало на второй кости). Тогда

Р{А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) =1/6+1/6-1/36=11/36

5. Определения условной вероятности, зависимых и незави­симых событий. Примеры.

Определение. Пусть (Ω F,P) - произвольное вероят­ностное пространство. Если A, B € F,

Р(А) > 0, то условная вероятность события В при условии что событие А произошло, определяется формулой

P(B/A)=P(AB)/P(A)

Определение. Пусть A, B € F. События A и В называ­ются независимыми, если Р(АВ) = Р(А)*Р(В).

6.Теорема умножения вероятностей для зависи­мых событий.

Пусть A, B € F. Тогда Р(АВ) = Р(А)*Р(В/А), то есть вероятность совместного появления событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную веро­ятность второго при условии, что первое произошло.

Следствие. Если А₁,А₂,...,А_n - произвольные события,

то P(A₁*A₂*..,*A_n) = P(A_])*P(A₂/A₁)*…*P(A_n/A_l*..*,An-1). В частности, P(А₁ *А₂*А₃) = Р(A1) • Р(А₂ / A1 ) • Р{A3 /A1 • А₂).

Пример.В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд, не возвращая, два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть А = (первый шар белый), В = (второй

шар белый). Тогда P(A) = 5/9. Если событие А произойдет, то в

урне останется 4 белых и 4 черных шара. Поэтому P(B/A)=4/8=1/2

Значит, искомая вероятность равна P(AB) = P(A)*P(B/A) = 5/9*1/2=5/18 .

классическое определение вероятности: Р(АВ) = C²₅ / C²₉ =5/18