7. Формула полной вероятности.

Пусть задано вероятностное пространство (Ω, F, Р), А € F, и попарно несовместные события Н₁,Н₂,...,Н_п € F. Если Р(Н_k)>0 (k=1,…,n) и А с Н1 + Н2 + … +Нn, то имеет место формула полной вероятности

События Н1,Н₂,...,Н_n обычно называют гипотезами, в пред­положении которых может произойти событие А

Пример. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, а во вто­рой 1 белый и 4 черных. Из первой урны во вторую переложе­ны два шара. Найти вероятность того, что вынутый из второй урны шар окажется белым.

Решение. Обозначим A=(вынутый из второй урны шар - белый), H1⁼ (оба переложенных шара - белые), Н₂= (переложены разноцветные шары), H₃ =(оба переложенных шара – черные. Найдём вероятности Нi : P(H1)=C²₂/C²₅=1/10; P(H2)=C¹₂*C¹₃/C²₅ ; P(H3)= C²₃/ C²₅ =3/10/

Если выполнено Н1, то во второй урне будет 3 белых и 4 черных шара, следовательно Р(А/Н1)=3/7, Р(А/Н2)= 2/7, Р(А/Н3)=1/7. Применяем ф-лу полной вероятности: Р(А)=1/10*3/7+6/10*2/7+3/10*1/7=18/7*10=9/35

8. Формулы Байеса.

Пусть выполнены все условия формулы полнойвероят­ности. Тогда

I=1,2,…,n

Эти формулы называют также формулами вероятностей гипо­тез: Р(H1) - априорные (до опыта) вероятности, Р(Нi/А) -апостериорные (после опыта) вероятности.

Пример 5. В первой урне 15 синих и 5 красных шаров, во вто­рой урне 8 синих и 12 красных. Из наугад выбранной урны

наудачу извлекают шар. Вынутый шар оказался синим. Найти вероятность того, что он извлечен из первой урны.

Решение. Введем события А = (извлечен синий шар), Н₁ ⁼ (выбрана первая урна), Н₂= (выбрана вторая урна). Так

как урна выбирается наугад, то

P(H1)=P(H2)=1|2, кроме то-

го, по условию Применяя формулу Байеса, находим искомую вероятность

9. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула k успехов в n испытаниях: Р_п(к) = C^kp^kqⁿ-^k.

. Одинаковые независимые между собой испытания, в каждом из которых рассматривается некоторое событие А, наступающее с положительной вероятностьюр, называются испытаниями Бернулли. Наступление события А называется успехом, а ненаступление - неудачей. Испытаниям Бернулли отвечает следующее вероятностное пространство:

неудача) или = 1 (успех) }, F - множество всех подмножеств О., Р(со) = р^к • qⁿ~^k,

k=∑ⁿ i₌₁ωi, q=1-p

Теорема. Пусть производится серия из п испытаний Бер­нулли. Тогда вероятность Р_п (к) события, состоящего в том, что успех (событие А) наступит ровно к раз, равна

P_n(k) = C^k_np^kqⁿ-^k.

Пример. В урне 10 белых и 15 черных шаров. Вынули под­ряд 4 шара, причем каждый вынутый шар потом возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне переме­шивают. Какова вероятность того, что извлечено не более двух белых шаров?

Р ешение. Так как вынутые шары возвращают в урну, то вероятность извлечь белый шар в каждом испытании оди­накова и равна

Тогда

10. Сформулируйте локальную предельную теорему Муав-ра—Лапласа.

Теорема. Пусть в схеме испытаний Бернулли 0<р<1. То­гда

Применение локальной предельной теоремы Муавра-Лапласа состоит в замене точного значения

Р_n(к) = С^k_n р ^kq^n-k на при­ближенное:

Значения функции φ(x) находятся по таблице при 0 ≤ х ≤ 4; при х >4 можно считать φ(x) ≈ 0; кроме того, φ(x) = φ(-x) , что позволяет находить значения φ(x) при х<0.

Пример 4. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

Р е ш е н и е. По условию n=100, k=50, р=0.51, q=0.49. Поэтому