11. Сформулируйте интегральную предельную теорему Му-авра—Лапласа.

Теорема. Пусть в схеме испытаний Бернулли 0<р< 1 и Р_n(k₁;k₂)- вероятность того, что событие А наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, то есть

Тогда

при n͢͢→∞.

Здесь и далее

Функция Лапласа.

Применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа состоит в замене точного значения вероятности

Р_п(к₁;к₂) = ∑^{k 2}_k=k1 C ^k_n p^k q^n-k

на приближенное по формуле

Функция Ф₀(х) при значении

0 ≤ х ≤ 5 табулирована; при х>5 можно считать Ф₀(х) ≈ 0.5; кроме того, Ф₀(-х) = -Ф₀(х).

Пример 5. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0.8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 70 раз.

Р е ш е н и е. По условию n=100, р=0.8, q=0.2,

Искомая вероятность равна

Р_т(75;90) т Ф₀(2.5)-Ф₀(-1.25) = Ф₀(2.5)+ Ф₀(1.25) * 0.8882.

12. Докажите теорему Пуассона.

В СХеМе испытаний Бернули предположим, что р является функцией n

Теорема. Пусть р(n) → 0 при n→∞, причем n∙p(n) →λ>0. 7огда для любого целого неотрицательного k

Применение теоремы Пуассона состоит в замене точного зна­чения Р_п(к) на приближенное

,

если р близко к 0, а n велико.

Пример 8. Книга издана тиражом 10000 экземпляров. Вероят- ность того, что она сброшюрована неправильно, равна 0.0002. Найти вероятность того, что тираж содержит только 3 брако- ванные книги.

Решение. Вероятность того, что книга сброшюрована неправильно, равна р= 0.0002, а число книг п= 10000. Так как р мало, а п велико, то воспользуемся теоремой Пуассона при

13. Закон распределения и функция распределения дискрет­ной случайной величины (св.).

Пусть задано вероятностное пространство (Q₅ F, Р).

Определение. Всякая числовая функция X = Х(ю), определенная на конечном пространстве элементарных собы­тий i\ называется дискретной случайной величиной.

Случайные величины принято обозначать или латинскими прописными буквами X, Y, Z и т.д., или строчными грече скими буквами ʂ (читается "кси"), ƞ ("эта") и т. д.

Определение. Законом распределения дискретной с чайной величины X называется перечень ее возможных зна ний х,, х₂,..., х_п и их вероятностей p_j= Р(Х = х_j). Закон рас пределения, представленный в виде таблицы

X	X1 x2 ... Хп
р	P1 Р2 ... Рп

называется рядом распределения.

Определение. Функцией распределения случайной в личины X называется функция F(x) = Р(Х < х). Для дискретной случайной величины F(x) - ступенчатая функция,

(если х ≤ х₁, то

Пример.