- •1 Вопрос Кинематика точки. Путь. Перемещение. Скорость и ускорение. Их проекции на координатные оси. Вычисление пройденного пути. Средние значения.
- •3 Вопрос Скорость точки при векторном способе задания движения.
- •4 Вопрос Скорость и ускорение при криволинейном движении. Тангенциальное и нормальное ускорения.
- •5 Вопрос Движения Материальной Точки по Окружности
- •Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени Δt → 0, за который твердое тело совершает поворот на бесконечно малый угол Δα вокруг мгновенной оси ω
- •23 Вопрос Закон сохранения энергии в механике
- •Вопрос 25 Теорема Гюйгенса-Штейнера
- •Вопрос 27
- •Вопрос 29,30 Гидродинамика. Линии тока. Уравнение Бернулли.
- •Вопрос 31,32 Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Сила вязкого трения в жидкости. Число Рейнольдса. Формула Пуазейля.
- •Вопрос 38
- •Вопрос 40
- •Вопрос 41
- •Вопрос 42 Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле.
- •Вопрос 44, 45 .Приминение первого начала термодинамики к изопроцессам и адиабатному процессу идеального газа. Зависимость теплоёмкости идеального газа от вида процесса.
- •Вопрос 46
- •Вопрос 49, 51, 54
- •Вопрос 52
- •Вопрос 59
- •Вопрос 47 Политропные процессы
- •Уравнение процесса
- •Вопрос 50
3 Вопрос Скорость точки при векторном способе задания движения.
П усть движение точки относительно тела отсчета задано ее радиус-вектором r(t). Тогда, по определению, скоростью точки будет векторная производная радиус-вектора r по скалярному аргументу - времени t:
|
(1) |
На рис. 59 изображено как определяется скорость точки. За приращение времени Δt точка переместилась по траектории из положения M в положение M1, а радиус-вектор получил приращение Δr. Когда Δt 0, точка M1 M, а вектор Δr, направленный по хорде MM1, стремится занять положение касательной к траектории. Поэтому вектор скорости V будет направлен, согласно выражению (1), вдоль касательной к траектории в точке M в сторону движения точки.
По определению, вектор скорости является скоростью точки в данное мгновение времени или мгновенной скоростью. Средней скоростью за промежуток времени Δt называется отношение Δr/Δt. Размерность скорости - м/с (метр в секунду), внесистемными единицами скорости могут быть см/с (сантиметр в секунду), км/час (километр в час) и т.д.
Определение скорости при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано в декартовой системе координат Oxyz, которую считаем неподвижной, и известны кинематические уравнения движения точки: x = x(t); y = y(t); z = z(t). Используя равенство (5) в п. 26, по формуле (1) выражаем скорость точки:
Так как система координат Oxyz неподвижна, ее единичные векторы i,j,k постоянны (не меняют ни величину, ни направление), то слагаемые, содержащие производные этих векторов, равны нулю и
|
(9) |
Проекциями вектора скорости на оси координат являются сомножители перед единичными векторами, следовательно,
Зная проекции скорости на оси координат, можно определить величину вектора скорости:
|
(10) |
Направление вектора скорости определяется тремя направляющими косинусами:
|
(11) |
Формула (9) позволяет не только определить скорость аналитически, но и построить вектор скорости геометрически. По этой формуле вектор скорости можно представить как сумму трех взаимно перпендикулярных составляющих:
|
(12) |
где
|
(13) |
Геометрически сложив составляющие, найдем вектор скорости. При построении составляющих по формулам (21) нужно учитывать: 1) если производная координаты положительна, то направление составляющей совпадает с направлением единичного вектора координатной оси; 2) если производная отрицательна, составляющая направлена в противоположную сторону.
Ускорение точки при векторном способе задания движения.
По определению ускорение является производной по времени от вектора скорости:
|
(1) |
К огда Δ 0, точка M1 M; плоскость, где лежат векторы (t), (t + Δt) и (Δt), содержащая две касательные к траектории в точках M и M1 (рис. 62), стремится занять положение соприкасающейся плоскости в точке M; сам вектор направлен в сторону вогнутости траектории.
Таким образом, вектор ускорения a лежит в соприкасающейся плоскости и всегда направлен в сторону вогнутости траектории.
Очевидно, что a является ускорением в данное мгновение времени или мгновенным ускорением, а средним ускорением за промежуток времени Δt называется отношение ΔV / Δt. Соответственно, размерностью ускорения будет м / с2 (метр за секунду в квадрате).
Определение ускорения при координатном способе задания движения.
Пусть движение задано в прямоугольной системе координат Oxyz, которую мы принимаем за неподвижную, и нам известны законы изменения координат точки: x = x(t); y = y(t) ; z = z(t).
Согласно выражению (1), дифференцируем по времени формулу (17) в п. 27, учитывая, что единичные векторы осей координат постоянны:
|
(2) |
Проекциями вектора ускорения на оси координат являются сомножители перед единичными векторами в равенстве (2), следовательно,
|
(3) |
Зная проекции ускорения на оси координат, можно определить величину вектора ускорения:
|
(4) |
Направляющие косинусы, определяющие направление вектора ускорения в системе координат, будут равны
|
(5) |
Формулу (2) можно использовать для геометрического построения вектора ускорения. Представляя вектор ускорения как сумму трех взаимно перпендикулярных составляющих
|
(6) |
где
|
(7) |
а затем геометрически сложив их, найдем вектор ускорения. При построении составляющих по формулам (7) нужно учитывать знаки вторых производных координат точки. Если они положительны, то направления составляющих совпадают с направлениями единичных векторов, если они отрицательны, то составляющие направлены в противоположную сторону.