Глава 2 случайные величины и их распределения

2.1. Случайные величины со значениями в 1

2.1.1. Случайные величины

Рассмотрим вероятностное пространство {, F, Р}, где  - пространство элементарных событий, F — -алгебра событий и Р — определенная на ней вероятность. Пусть  = () некоторая функция, определенная на  и принимающая значения в ¹.

Если для любого фиксированного x  ¹ событие { : () < х}  F, то говорят, что  = () — измеримая функция.

Определение. Случайной величиной называется измеримая функция  = (), отображающая  в ¹.

Другими словами, случайной величиной  называется функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу  число  = () и обладающая свойством измеримости.

П ример. Бросаем игральную кость один раз. Рассмотрим определенную на  функцию

Для любого фиксированного x  ¹ событие { : () < х}  F, где F — -алгебра событий из . Поэтому  является случайной величиной.

2.1.2. Функция распределения

Определение. Функцией распределения случайной величины  будем называть следующую функцию

F_ (x) = F(x) = Р(  (-, x)) = Р( < х).

П ример 1. Бросаем игральную кость один раз. Напомним, что  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Рассмотрим случайную величину  вида

Найдем функцию распределения F_ (x). Пусть х  0, тогда F_ (x) = 0, поскольку { < х} для такого х - невозможное событие. Рассмотрим промежуток (0, 1], т.е. 0 < х  1. Тогда

F_ (x) = Р( < х) = Р( = 0) = Р(выпадение четного числа) = 1/2.

Остается случай, когда х > 1. В этом случае,

F_(x) = Р( < х) = Р( = 0) + Р( = 1) = 1,

поскольку { < х} = { = 0}  { = 1}—объединение несовместных событий.

И так, функция распределения случайной величины  определяется так:

График этой функции имеет вид:

П ример 2. Рассмотрим «задачу о встрече», приведенную в пункте 1.2.3. Пусть случайная величина  — величина ошибки в часах первого человека. Определим функцию распределения этой величины. Пусть х  - 5, тогда F_(x) = 0. Рассмотрим промежуток (—5,5], т.е. - 5 < х  5. Тогда Р( < х) = (х - (-5))/10 = (х + 5)/10. Эта вероятность (геометрическая) вычислена следующим образом: G = [- 5,5] и g = [- 5, х) и

Остается случай, когда х > 5. Тогда F_(x) = Р( < х) = 1.

И так, случайная величина  имеет функцию распределения

График этой функции выглядит следующим образом:

2.1.3. Свойства функции распределения

1). 0  F(x)  1 для любого x  ¹.

По определению функция распределения является вероятностью, поэтому свойство очевидно.

2). F(x)—неубывающая функция, т.е. при х₁ < х₂ выполняется неравенство F(х₁)  F(х₂).

При х₁ < х₂ событие { < х₁ } влечет событие { < х₂ }, поэтому

Р( < х₁ )  Р( < х₂ ),

откуда следует свойство 2.

3). lim_x- F(x) = F(-) = 0, lim_x+ F(x) = F(+) = 1.

Обозначим A_n = { < х_n}, где {х_n} монотонно убывающая к -  последовательность. Очевидно, что A_n  F для любого n, и A_n+1  A_n - По лемме непрерывности (см. 1.1.3).

lim_n P(A_n) = Р(A) = Р( _n A_n) = Р( = -) = 0.

Но Р(A_n) = Р( < х_n), а это есть функция распределения, т.е. lim_n F(х_n) = 0 для любой монотонно убывающей к - последовательности {х_n}, отсюда можно получить и соотношение: lim_{n -} F(х) = 0.

Пусть = {  х_n}, где { х_n } монотонно возрастающая к  последовательность. Очевидно, что lim_n P(B_n) = 0. Отсюда следует, что lim_n [1 - F(x_n)] = 0, следовательно и lim_x [1 - F(x)] = 0.

4). Р(х₁   < х₂)=F(х₂) - F(х₁).

Пусть А = { < х₁}, В = { < х₂} и C = { х₁   < х₂}. Тогда очевидно, что В = A  С и события A, С несовместны. По аксиоме 3 мы получаем, что

Р( < х₂) = Р( < х₁) + Р(х₁   < х₂),

и, следовательно,

Р(х₁   < х₂) = F(x₂) - F(x₁).

5). F(x) —- непрерывная слева функция, т.е. для любой последовательности чисел x₁, x₂, ..., x_n, ..., сходящейся к числу х слева, выполняется

lim_n F(x_n) = F(x)

Пусть для определенности x₁, x_2, ..., x_n ,… возрастающая последовательность. Рассмотрим события

А = { < х}, А₁ ={ < х₁}, А_n = { х_n-1   < х_n},

n = 2, 3, ...

Очевидно, что A = _n А_n, причем А₁, А₂ .... попарно несовместные события, тогда по аксиоме 3 получаем

Итак, функция распределения любой случайной величины удовлетворяет вышеуказанным свойствам. Верно и обратное, а именно, если функция удовлетворяет свойствам 1-5, приведенным выше, то найдется случайная величина , для которой эта функция будет функцией распределения.