1.1.2. Вероятности

Пусть некоторый эксперимент повторяется п раз (т.е. проводится серия из п одинаковых и независимых друг от друга экспериментов). Фиксируем случайное событие А и предполагаем, что это событие появлялось _n(A) раз. Рассмотрим отношение _n(A)/n, которое называется частотой события А в данной серии. С ростом п колебания этого отношения вокруг некоторого постоянного числа Р(А) все меньше и в различных сериях практически совпадают при больших n, т.е. _n(A)/n  Р(А). Итак, событию А сопоставляется численная характеристика Р(A), которая и называется вероятностью события А. Такую трактовку понятия вероятности называют частотным или статистическим определением вероятности.

Теперь приведем аксиомы теории вероятностей.

Пусть  — пространство элементарных событий, F — -алгебра событий, ¹ – пространство действительных чисел.

Определение 1. Вероятностью называют числовую функцию Р(А), определенную на -алгебре событий F, т.е. Р : F  ¹, которая удовлетворяет следующим аксиомам.

Аксиома 1. Для любого события А из F число Р(А)  0.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события  равна 1, т.е. P() = 1.

А ксиома 3. Пусть A₁, А₂,..., A_n,... — счетная последовательность попарно несовместных событий, т.е. А_i  А_j =  для i  j, тогда

Определение 2. Вероятностным пространством называется тройка объектов (,F,Р), где  — непустое пространство элементарных событий, F— -алгебра событий из , Р— вероятность, определенная на F.

В дальнейшем, для удобства записи, знак суммы будем записывать как или _n , а знаки - как или ; - как или .

1.1.3. Свойства вероятностей

1. Р() = 0.

Так как события  и  несовместны, то согласно аксиоме 3

Р()+Р()=Р(),

и по аксиоме 2 получаем требуемое.

2. Р(Ā)=1 - Р(A).

Поскольку  = A  Ā и A, Ā несовместные события, то по аксиоме 3 получаем

1 = Р() = Р(A  Ā ) = Р(A) + Р(Ā).

3. Если А В, то Р(В \ A) = Р(В) - Р(A).

Пусть В \ А == С, тогда С  А= и С  А= В. Отсюда согласно аксиоме 3 получим

Р(В) = Р(С) + Р(А).

4. Если А  В, то Р(А)  Р(В).

Из свойства 3 следует, что Р(В) — Р(А) = Р(В \ А)  0. Отсюда получаем требуемое.

5. Для любого события А из F имеет место 0  Р(A)  1.

Поскольку A   , то согласно свойству 4 Р(A)  Р(). Следовательно Р(A)  1.

6. Для произвольных событий А и В из F имеет место равенство

Р(A  В) = Р(A) + Р(В) - Р(A  В).

Эта формула называется формулой сложения вероятностей для двух произвольных событий.

Пусть В \ А = С, тогда С  А = . Отсюда A  В = A  С и по аксиоме 3 и свойству 3

Р(A  В)=Р(A  С) =Р(A)+Р(С) =

Р(A) + Р(В \ A) = Р(A) + Р(B) - Р(A  В),

поскольку В \ А = В \ (A  В) и A  В  В.

7. Для произвольных событий А и В из F имеет место

P(A  B)  Р(А)+Р(В).

Это свойство является очевидным следствием свойства 6.

Приведем без доказательств еще три свойства (доказательств этих свойств можно найти в [1]).

8 . Для последовательности событий ..., … справедливо

9 . Если , ,…. — последовательность событий, то имеет место следующее неравенство:

10. Лемма непрерывности. Пусть имеется последовательность событий (т.е. убывающая последовательность). Обозначим через А пересечение всех : .

Тогда имеет место следующее равенство

.