- •Введение
- •1. Метод эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений
- •1.1. Постановка задачи. Пример логистического уравнения
- •1.2. Метод Эйлера решения оду и систем оду
- •1.3. Контрольные вопросы
- •1.4. Задания
- •2.4. Построение графика решения
- •2.5. Исследование решения
- •2.5. Контрольные вопросы
- •2.6. Задания
- •3. Исследование модели лотки‑вольтерры
- •3.1. Цель работы
- •3.2. Постановка задачи
- •3.3. Решение системы дифференциальных уравнений с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4. Контрольные вопросы
- •4.5. Задания
- •5. Модели клеточных автоматов
- •5.1. Цель работы
- •5.2. Постановка задачи
- •5.3. Построение модели
- •5.4. Проведение эксперимента
- •5.5. Контрольные вопросы
- •5.6. Задания
- •Литература
1.2. Метод Эйлера решения оду и систем оду
Рассмотрим решение уравнения . ОДУ можно решить аналитически, т. е. получить решение в виде формулы. Но получение аналитического решения требует определенных знаний в области математики, для многих уравнений получить аналитическое решение весьма сложно или невозможно.
Мы будем использовать численные методы, т. е. получать численные значения решения при определенных значениях . Причем расчет проводится последовательно, начиная с .
Рассмотрим простейший численный метод решения ОДУ – метод Эйлера (метод Эйлера-Коши). Этот метод не обеспечивает высокую точность вычислений, но для наших мягких моделей не требуется высокая точность. Рассмотрим упрощенный вывод формулы метода (строгое математическое доказательство можно найти в любой книге по численным методам решения ОДУ, например, в [6]). Интервал изменения независимой переменной , на котором ищется решение, разобьем на отрезков точками , расположенных с постоянным шагом (рис. 1.3). В общем виде шаг может быть переменным.
Рис. 1.3. Разбиение оси
Учитывая определение производной и предполагая малую величину шага , запишем уравнение в разностной форме в точке
,
откуда получаем
,
где .
Выражение представляет собой формулу метода Эйлера. Расчет по производится в следующей последовательности: сначала по известному начальному условию в точке находится значение решения в точке , затем находится и т. д.
При решении методам Эйлера систем дифференциальных уравнений вида для каждого значения независимой переменной независимо друг от друга вычисляются все значения зависимых переменных . Обозначим через значение зависимой переменной , вычисленное при значении независимой переменной. Тогда формула метода Эйлера для решения системы вида ОДУ имеет вид
.
К системе вида может быть сведено дифференциальное уравнение высшего порядка
с начальными условиями
.
Применим цепочку преобразований
Начальные условия примут вид
Таким образом, уравнение n‑порядка свелось к системе из уравнений первого порядка. Неизвестными являются .
Пример.
Уравнение с начальными условиями сводится к системе уравнений
с начальными условиями .
1.3. Контрольные вопросы
1. Объясните влияние параметров и уравнения на вид логистической кривой.
2. В чем, по-вашему, состоит различие аналитических и численных методов решения ОДУ?
3. На какую характеристику решения влияет величина шага в формуле ?
4. Можно ли методом Эйлера получить решение в произвольной точке, не вычисляя решения в предыдущих точках?
5. Приведите последовательность действий и рабочие формулы для решения методом Эйлера ОДУ .
6. Приведите последовательность действий и рабочие формулы для решения методом Эйлера системы ОДУ .
7. Приведите последовательность действий и рабочие формулы для решения методом Эйлера ОДУ .
1.4. Задания
Запишите формулы метода Эйлера для следующих уравнений и систем уравнений
1. , где и – константы.
2.
где – константы.
3.
где и – константы.
4.
5. ,
где – константа.
6. ,
где – константа.
7.
где – константа.
8. ,
где и – константы.
9.
где и – константы.
10. .
11. ,
где – константа.
12. .
2. РЕШЕНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ EXCEL
2.1. Цель работы
Освоение метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью электронных таблиц Excel. Исследование полученного решения.
2.2. Постановка задачи
Рассмотрим логистическое уравнение
,
где – емкость экологической ниши (сколько особей могут жить на данной территории), – скорость рождения, – скорость смертности.
Используя метод Эйлера, получим
,
где – значение решения в момент времени , – шаг по времени.
2.3. Решение дифференциального уравнения с помощью электронных таблиц Excel
Рассмотрим решение логистического уравнения при , , , , , .
Сначала занесем исходные данные. В ячейку A2 занесем начальное значение времени t=0. Аналогично заносятся другие исходные данные (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Пример заполнения таблицы
В ячейку A3 занесем формулу
=A2+$F$2
и распространим эту формулу на ячейки A3 – A22. В результате получаем в этих ячейках значения моментов времени от 1 до 20 с шагом 1. В ячейку B3 занесем формулу
=B2+$F$2*$C$2*B2*($D$2-B2)-$F$2*$E$2*B2,
которая представляет собой запись формулы и распространим эту формулу на ячейки B3 – B22 (рис. 2.1). В результате этих ячейках получим решение уравнения .