- •Министерство образования и науки украины одесский национальный университет имени и.И. Мечникова институт инновационного и последипломного образования
- •Глава 1 числовые функции одного действительного переменного
- •§1. Область определения функции
- •Ограниченные числовые множества
- •1.2. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •1.3. Предельные точки множества
- •§ 2. Способы задания функции
- •2.1. Табличный способ задания функции
- •2.2. Графический способ задания функции
- •2.3. Аналитический способ задания функции
- •2.4. Неявное задание функции. Алгебраические и трансцендентные функции
- •2.5. Параметрическое задание функции
- •§3. Обратная функция для аналитически заданной функции
- •§4. Элементарные функции и их классификация
- •4.1. Основные (простейшие) элементарные функции
- •4.2. Элементарные функции
- •4.3. Ограниченные функции
- •Если f(p) является ограниченным (или неограниченным) множеством, то говорят, что функция f(X) ограничена (или неограничена).
- •4.4. Монотонные функции
- •4.5. Четные и нечетные функции
- •4.6. Периодические функции
- •§5. Предел числовой последовательности
- •5.1. Определение и геометрическое истолкование предела последовательности
- •Постоянная последовательность {yn} имеет пределом число и является сходящейся последовательностью.
- •5.2. Некоторые теоремы о последовательностях, имеющих предел
- •5.3. Бесконечно малые последовательности и их свойства
- •5.4. Бесконечно большие последовательности и их свойства
- •5.5. Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел
- •5.6. Неопределенные арифметические выражения
- •5.7. Неопределенные степенно-показательные выражения
- •5.8. Монотонные последовательности
- •5.9. Принцип сходимости последовательности
- •Упражнения
- •§6. Предел числовой функции одного действительного переменного
- •6.1. Определение и геометрическое истолкование предела функции
- •6.2. Односторонние и бесконечные пределы функции
- •6.3. Распространение теории пределов
- •6.4. Примеры на нахождение пределов для некоторых неопределенных выражений
- •§7. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших функций одного действительного переменного
- •7.1. Сравнение бесконечно малых
- •Наоборот, бесконечно малые
- •Будут, очевидно, высшего порядка, чем х.
- •7.2. Классификация бесконечно больших
- •Упражнения
- •§8. Непрерывность (и разрывы) функции одного действительного переменного
- •8.1. Определение непрерывности функции в точке
- •8.2. Односторонняя непрерывность функции в точке. Функции, непрерывные в промежутке
- •8.3. Равномерная непрерывность
- •8.4. Разрывы функции. Классификация разрывов
- •Например, рассмотрим функцию
- •8.5. Арифметические операции над непрерывными функциями
- •8.6. Непрерывность и разрывы монотонной функции
- •8.7. Непрерывность сложной функции
- •8.8. Непрерывность элементарных функций
- •8.9. Общие свойства непрерывных функций
- •Упражнения
5.3. Бесконечно малые последовательности и их свойства
Определение 1. Последовательность {yn}, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой последовательностью или просто бесконечно малой.
Если в определении предела последовательности положить , то неравенство (1.8) примет вид |yn – 0| = |yn| (для n > n).
Таким образом, данное выше определение бесконечно малой последовательности можно сформулировать и без упоминания термина предел.
Определение 2. Последовательность {yn} называется бесконечно малой, если ее значения yn по абсолютной величине становятся и остаются меньшими сколь угодно наперед заданного числа , начиная с некоторого номера n , зависящего от : |yn| , лишь только n > n .
В дальнейших теоремах нам придется рассматривать одновременно две (или больше) последовательности, сочетая их между собой знаками арифметических действий. При этом знаки относятся к соответствующим значениям последовательностей. Говоря, например, о сумме двух последовательностей {xn} и yn}, которые принимают соответствующие значения x1, x2, x3,...,xn, и y1, y2, y3,...,yn будем иметь в виду последовательность {xn + yn}, принимающую последовательность значений x1 + y1,…, xn + yn , …
Теорема 1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых последовательностей есть также последовательность бесконечно малая.
Доказательство теоремы опускаем.
Теорема 2. Последовательность {xn n}, представляющая собой произведение ограниченной последовательности {xn} на бесконечно малую последовательность {n}, есть последовательность бесконечно малая.
Доказательство. Пусть для всех значений n |xn| < , где . Если задано произвольное число , то по числу для бесконечно малой {n} найдется такой номер n , что для n > n будет n . Тогда для тех же значений n очевидно, xn n = xn n = . Отсюда и следует, что последовательность {xn n} есть бесконечно малая.
Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на последовательность, имеющую конечный предел, есть последовательность бесконечно малая.
Действительно, так как последовательность имеет конечный предел, то она ограничена и тем самым выполнены условия теоремы.
Теорема 3. Для того чтобы последовательность {yn} имела своим пределом постоянное число , необходимо и достаточно, чтобы существовала такая бесконечно малая последовательность {xn}, что
yn = + xn . (1.9)
Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность {yn} имеет предел . Это означает, что для любого существует такое n , что n > n выполняется неравенство |yn | < .
Обозначим yn – = xn. Тогда n > n |xn| < , т.е. lim xn = 0. Следовательно, последовательность {xn} бесконечно малая. Таким образом, lim yn = , где {xn} бесконечно малая последовательность.
Достаточность. Пусть последовательность {yn} представлена в виде (1.9), где lim xn = 0. Это означает, что n , что n > n выполняется неравенство |xn| < . Из равенства (1.9) xn = yn – . Тогда n > n справедливо неравенство |yn | < , откуда по определению lim yn = . Таким образом, yn = + xn lim yn = .
Теперь окончательно заключаем: lim yn = yn = + xn.
Условие (1.9) можно прочитать так: любой член сходящейся последовательности равен сумме предела последовательности и соответствующего члена бесконечно малой последовательности.
Замечание. Если для бесконечно малой последовательности {xn} использовать второе из приведенных выше определений без упоминания термина "предел", то теорема 3 позволяет дать для понятия "предел" другое определение (равносильное старому).
Определение 3. Постоянное число называется пределом последовательности {yn}, если существует такая бесконечно малая последовательность {xn}, что yn = + xn.
Примеры. 1. Рассмотрим последовательности, общие члены которых заданы формулами: , где k – любое положительное число, т.е. .
Все три последовательности представляют собой бесконечно малые, т.е. имеют пределом нуль. Действительно, для них , лишь только . Таким образом, в качестве n можно взять, например, наибольшее целое число, содержащееся в , т.е. E .
Отметим, что значения первой последовательности все время больше своего предела 0, второй все время меньше его, третьей же – попеременно становятся то больше, то меньше его.
2. Важный пример бесконечно малой дает последовательность {yn} = {qn}, где |q| < 1. Для доказательства того, что yn , рассмотрим неравенство |yn| = |q|n < ; оно равносильно таким: n lg |q| < lg или .
Знак неравенства изменен на обратный, так как lg |q| < 0. Таким образом, если положить (считая < 1) n , то упомянутое неравенство выполняется и, следовательно, yn .
Замечание. Тот факт, что последовательность {yn} бесконечно малая, не означает (еcли она не нуль), что в отдельности взятое значение yn этой последовательности может квалифицироваться как «малое» число. Например, бесконечно малая последовательность {yn} с общим членом при п = 1 имеет значение y1 = 100, которое, естественно, не может рассматриваться как «малое» число, близкое к точке «ноль» на числовой оси.