§7. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших функций одного действительного переменного

7.1. Сравнение бесконечно малых

Пусть функции f (x) и  (x) определены и не равны нулю в некоторой окрестности точки х₀. Кроме того, при х  х₀ они являются бесконечно малыми, т.е. .

Во многих случаях представляет интерес сравнение названых бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. В основу сравнения двух бесконечно малых f (x) и  (x) кладется поведение их отношения.

Если существует, то бесконечно малые f (x) и  (x) называются сравнимыми, если же этот предел не существует, то бесконечно малые f (x) и  (x) называются несравнимыми. Например, если взять  (x) = х и , то их отношение, равное при х  0 предела не имеет и, следовательно, такие две бесконечно малые несравнимы между собой.

Для сравнимых бесконечно малых функций устанавливаются следующие два соглашения:

1. Если отношение (а с ним и ) имеет конечный и отличный от нуля предел при хх₀, то бесконечно малые f (x) и  (x) считаются бесконечно малыми одного порядка малости:

.

2. Если же отношение стремится к нулю (а отношение – к ∞) при х  х₀, то бесконечно малая f (x) считается бесконечно малой высшего порядка малости, чем бесконечно малая  (x), и одновременно бесконечно малая  (x) будет низшего порядка малости, чем бесконечно малая f (x).

Например, если  (x) = х (х₀ = 0), то по сравнению с этой бесконечно малой одного порядка с нею будут и бесконечно малые , ибо, как мы знаем (§6, п.6.4),

.

Наоборот, бесконечно малые

(1.22)

Будут, очевидно, высшего порядка, чем х.

Заметим, что если бесконечно малая f (x) оказывается высшего порядка, чем бесконечно малая  (x), то этот факт записывают так: . Например, можно писать: и т.п. Таким образом, символ служит общим обозначением для бесконечно малой высшего порядка, чем  (x).

Для более точной сравнительной характеристики поведения бесконечно малых вводят шкалу сравнения бесконечно малых функций, обеспечивающей выражение порядков их – числами.

Определение 1. Уславливаются считать бесконечно малую функцию f (x) бесконечно малой к-го порядка малости относительно бесконечно малой функции  (x) при хх₀, если f (x) и будут бесконечно малыми одного порядка малости, т.е. если .

Теперь, например, можно, не довольствуясь утверждением, что бесконечно малые (1.22) (при х  0) будут бесконечно малыми высшего порядка малости, чем  (x) = х, сказать точно, что первые две из них суть бесконечно малые второго порядка, а последняя – третьего порядка малости относительно  (x) = х, ибо

.

Остановимся теперь на одном особенно важном частном случае бесконечно малых одного порядка.

Определение 2. Две бесконечно малые функции f (x) и  (x) при х  х₀ называются эквивалентными, если их разность  (x) = f (x) –  (x) оказывается бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, нежели они сами.

Установим полезный критерий эквивалентности двух бесконечно малых, который, в сущности, дает второе определение этого понятия, равносильное данному ранее:

Для того, чтобы две бесконечно малые функции f (x) и  (x) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы предел их отношения при хх₀ был равен единице, т.е. .

Эквивалентность функций f(x) и  (x) при х х₀ обозначают f(x) ~  (x).

Основные свойства эквивалентности бесконечно малых функций сводятся к следующим:

1.

2. Если то

3. Если и то

4. При достаточно малых значениях и можно со сколь угодно большой относительной точностью положить = . На этом основана, при приближенных выкладках, замена сложных бесконечно малых эквивалентными им простыми.

Так, например, при раскрытии неопределенности вида , т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых функций , при , каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой функцией. Действительно, если и , т.е. и , то

.

Примеры. 1. Найти . Поскольку и при , то

2. Найти

При , Тогда,