7.2. Классификация бесконечно больших

Для бесконечно больших функций может быть развита подобная классификация, как и для бесконечно малых.

1. Две бесконечно большие функции f (x) и  (x) при х  х₀ считаются бесконечно большими функциями одного порядка, если их отношение (а с ним и ) имеет конечный и отличный от нуля предел при х ® х₀.

2. Если же отношение стремится к ∞ (а обратное отношение – к нулю) при х ® х₀, то f (x) считается бесконечно большой функцией высшего порядка, чем  (x), и одновременно,  (x) будет бесконечно большой функцией низшего порядка чем f (x).

В случае, когда отношение при х  х₀ ни к какому пределу не стремится, бесконечно большие функции f (x) и y (x) будут несравнимы.

3. Бесконечно большая функция f (x) называется бесконечно большой k-го порядка относительно бесконечно большой функции y (x) при х®х₀ , если f (x) и будут бесконечно большими при х ® х₀ одного порядка, т.е. если

Упражнения

1. Найти пределы функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

н) ; о) .

2. Является ли функция бесконечно большой, если

и бесконечно малой если при ?

3. Доказать, что функции есть бесконечно большими:

а)

§8. Непрерывность (и разрывы) функции одного действительного переменного

8.1. Определение непрерывности функции в точке

Функция называется непрерывной в некоторой точке х₀, если:

1. функция определена в точке х₀ и ее окрестности;

2. существует предел функции при х ® х₀, который равен значению функции в точке х₀.

. (1.23)

Равенство (1.23) показывает, что для непрерывных в точке функций знак характеристики функции и знак предела можно менять местами. Здесь .

Определение непрерывности функции можно сформулировать в других терминах. Переход от значения х₀ к другому значению х можно себе представить так, что значению х₀ придано приращение х₀ = х – х₀. Новое значение функции y = f (x) = f (х₀+х₀) разнится от старого у₀ = f (x₀) на приращение у₀ = f (х) – f (x₀) = f (х₀+х₀) – f (x₀). Для того, чтобы функция f (x) была непрерывна в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы ее приращение у₀ в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением х₀ независимой переменной. Иными словами: непрерывная функция характеризуется тем, что бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение функции.

Возвращаясь к основному определению (1.23), раскроем его содержание на «языке  – » (1.12). Смысл непрерывности функции f (x) в точке х₀ сводится к следующему: каково бы ни было число , для него найдется такое число , что неравенство влечет за собой . Последнее неравенство, таким образом, должно выполняться в достаточно малой окрестности точки х₀.

Наконец, «на языке последовательностей» (1.13) непрерывность выразится так: какую бы последовательность значений х из окрестности х₀: х₁,х₂,…,х_п,…, сходящуюся к х₀ , ни взять, соответствующая последовательность значений функции f (х₁), f (х₂),…, f (х_п),… сходится к f (x₀).

Отметим, что в (1.12) и (1.13) функция f (x) в точке х₀ может быть и не определена, но непрерывная в точке х₀ функция должна быть определена в этой точке. Поэтому требование |х – х₀| > 0 здесь излишне.