4.1.3. Определение радиуса сходимости степенного ряда

Радиус сходимости степенного ряда зависит от его коэффициентов c₀,c₁,c₂,…,c_n,…. Далее приводится теорема, в которой указан способ нахождения радиуса сходимости степенного ряда в зависимости от его коэффициентов.

Теорема. Радиус сходимости R степенного ряда определяется предельным равенством

(7.47)

предполагая, что этот предел существует.

Доказательство. Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда (7.44)

. (7.48)

К ряду (7.48) можно применить признак Даламбера в форме предельного равенства. Здесь .

Значит .

Если , т.е. , то ряд (7.48), а, следовательно, и (7.44) сходятся.

Если же , т.е. то ряд (7.48) и ряд (7.44) являются расходящимися. Таким образом, интервал (–R,+R) есть интервал сходимости ряда (7.44). На концах интервала ряд может, как сходиться, так и расходиться. Действительно в этом случае .

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Для геометрической прогрессии все c_n= 1, а потому и, следовательно . Отсюда получается, что геометрическая прогрессия сходится в интервале (–1,+1). На концах интервала (см. пример к гл.6, §2) ряд расходится.

Пример 2. Для ряда имеем

и отсюда .

Итак, радиус сходимости ряда R=+∞; ряд сходится при всех x: –∞< x <+∞.

Пример 3. При нахождении радиуса сходимости ряда

(7.49)

следует иметь в виду, что c₁= 0, c₃ = 0, c₅ = 0, …. Это несколько затрудняет использование формулы (7.47). Для того чтобы обойти это затруднение, положим x² = z и тогда найдем по формуле (7.47) радиус сходимости степенного ряда

(7.50)

Здесь , следовательно, по формуле (7.47) .

Итак, ряд (7.50) сходится в интервале .

Наконец, возвращаясь, к ряду (7.49), заключаем, что он сходится, если или если .

4.1.4. Равномерная сходимость степенного ряда

Промежуток сходимости (–R,R) степенного ряда

вообще говоря, не является для него промежутком равномерной сходимости.

Вопрос об области равномерной сходимости степенного ряда устанавливает следующая теорема.

Теорема. Если радиус сходимости степенного ряда

равен положительному числу R, то каким бы ни было число ρ, удовлетворяющее неравенству

0 < ρ < R (7.51)

степенной ряд в сегменте сходится равномерно.

Другими словами: степенной ряд сходится равномерно во всяком сегменте, лежащем внутри интервала сходимости.

Доказательство. Итак, пусть R > 0 радиус сходимости степенного ряда и ρ число, удовлетворяющее неравенству (7.51). Отсюда можно заключить, что точка x = ρ лежит внутри промежутка сходимости (–R,R) степенного ряда, а потому в этой точке ряд сходится абсолютно. Значит, сходится числовой ряд с положительными членами

. (7.52)

Дальше всюду считаем, что . Для этих значений x выполнены неравенства

. (7.53)

Значит для степенного ряда в сегменте [−ρ,ρ] соблюдены все условия достаточного признака равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда – выполнение неравенств (7.53) и сходимость числового ряда с положительными членами (7.52). В силу этого признака степенной ряд сходится в сегменте [−ρ,+ρ] равномерно и абсолютно. Теорема доказана.

С помощью этой теоремы и доказанной прежде теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций (гл.7, §2), можно заключить, что сумма степенного ряда S(x) есть непрерывная функция в сегменте [−ρ,ρ]. Но число ρ можно выбрать сколь угодно близким к числу R и потому сегмент [−ρ,ρ] в состоянии поглотить любую точку интервала (–R,R). Отсюда заключаем, что S(x) непрерывна всюду в интервале (–R,R).