§5. Ряды Тейлора и Маклорена. Понятие аналитической функции

Если для функции f(x) в точке x = a и в некоторой окрестности этой точки существуют непрерывные производные до порядка n + 1 включительно, то, как было установлено прежде (гл.3, §5, п.5.2), имеет место следующая формула Тейлора с остаточным членом R_n(x)

(7.61)

Здесь n = 0, 1, 2, ..., n. В частном случае, когда a = 0, приходим к формуле Маклорена

(7.62)

Если для функции f(x) в точке x = a и в некоторой окрестности этой точки существуют производные всех порядков, то можно составить формально (не затрагивая вопроса о сходимости) ряд Тейлора для функции f(x), расположенной по степеням x – a

(7.63)

Аналогично, в точке, а = 0 приходим к ряду Маклорена для функции f(x)

(7.64)

При этом естественно возникает вопрос о том, можно ли в (7.63) и (7.64) знак соответствия ~ заменить знаком равенства. Для этого нужно установить, что степенные ряды (7.63) и (7.64) сходятся и имеют сумму равную f(x).

Предположим, что такие функции существуют, и называть их будем аналитическими функциями.

5.1. Аналитические функции

Определение. Функция f(x) называется аналитической в точке x = a, если выполнены следующие три условия:

1) для функции f(x) в точке x = a и некоторой окрестности ее существуют последовательные производные всех порядков;

2) ряд Тейлора по степеням x − a для функции f(x)

(7.65)

сходится в интервале (a – R, a + R), где R > 0;

3) сумма ряда (7.65) всюду в интервале (a – R, a + R) равна f(x)

Насколько существенным является условие 3) этого определения можно заключить на примере следующей функции

Для этой функции всюду в интервале –∞ < x <+∞ существуют производные всех порядков, причем в точке х = 0 имеем

f⁽¹⁾(0) = 0, f⁽²⁾(0) = 0, …, f⁽ⁿ⁾(0) = 0, ….

Если для этой функции составить ряд Маклорена в точке х = 0, то он имеет следующий вид

(7.66)

Этот ряд сходится при всех и имеет сумму тождественно равную нулю для всех x. Следовательно, сумма ряда (7.66) не равна f(x), хотя первые два условия определения выполнены.

Теперь, естественно, возникает вопрос, как установить, что функция f(x) является аналитической.

Ответ на поставленный вопрос содержится в нижеследующей теореме.

Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x), бесконечно дифференцируемая в точке x = a и в некоторой ее окрестности была бы аналитической функцией в точке x = a, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число R > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам a – R < x < a + R выполнялось предельное равенство

(7.67)

где R_n(x) – остаточный член формулы Тейлора для f(x)

. (7.68)

Отсюда получаем

. (7.69)

Отметим, что выражение в квадратных скобках равенства (7.69) есть усеченная сумма порядка n ряда Тейлора (7.63) функции f(x)

. (7.70)

Доказательство. Необходимость. Предполагая, функцию f(x) аналитической в точке x = a, докажем справедливость предельного равенства (7.67). Действительно, в этом случае в интервале (a – R, a + R) ряд (7.63) сходится и имеет своей суммой функцию f(x), т.е. для всех x, удовлетворяющих неравенствам a – R < x < a + R выполняется предельное равенство

или с учетом (7.69) приходим к выполнению предельного равенства (7.67) . Необходимость доказана.

Достаточность. Здесь, предполагается выполненным в интервале (a – R, a + R) предельное равенство (7.67) и нужно доказать, что функция f(x) аналитическая в точке x = a.

Из равенства (7.69) и предельного равенства (7.67) следует, что в (a – R, a + R) справедливо равенство

или в равносильной форме

,

а это означает, что ряд Тейлора (7.63) сходится в (a – R, a + R) и имеет своей суммой f(x), то есть функция f(x) в точке x = a аналитическая. Теорема доказана.

Ниже изложены теоремы, выясняющие основные свойства аналитических функций.

Теорема 2. Если функция f(x) в интервале (a – R, a + R) есть сумма степенного ряда

(7.71)

то этот степенной ряд есть ряд Тейлора по степеням x − a для функции f(x), а само равенство (7.71) называется разложением функции f(x) в ряд Тейлора (степенной ряд) по степеням x − a.

Доказательство. Как было установлено прежде, последовательные производные суммы f(x) степенного ряда существуют в каждой точке интервала (a – R, a + R) и получаются в результате дифференцирования равенства (7.71)

_{Полагая в этих равенствах x = a, получим}

_.

_{Подставляя эти значения в (7.71) имеем,}

Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекают следующие следствия.

Следствие 1. Функция f(x), которая в интервале есть сумма степенного ряда , является аналитической функцией в точке x = a.

Следствие 2. Если сумма степенного ряда всюду в интервале  тождественно равна нулю:

≡ 0,

то все коэффициенты этого степенного ряда равны нулю.

_{Теорема 3. Если функция f(x) может быть разложена в степенной ряд по степеням x – a, то такое разложение является единственным.}

_{Доказательство. Предположим обратное, а именно что функция f(x) может быть разложена в степенной ряд по степеням x – a по крайней мере двумя различными способами}

(7.72)

. (7.73)

Обозначим через R наименьшее из двух положительных чисел R₁ и R₂: R = min (R₁,R₂). Тогда разложения (7.72) и (7.73) будут справедливы для всех х в интервале a – R < x < a + R. Теперь вычитая, левые и правые части равенств (7.72) и (7.73), приходим к тождеству

.

_{Отсюда с помощью следствия 2, получаем}

_{или, что то же самое c0 = b0, c1 = b1, c2 = b2,…, cn = bn,….}

_{Следовательно, разложения (7.72) и (7.73) в интервале (a – R, a + R) совпадают. Теорема доказана.}

_{Теперь на основании вышеизложенных положений перейдем к выяснению, какие из элементарных функций являются аналитическими. Для этого разложение этих функций будем производить в ряд Маклорена, т.е. в точке x = 0.}