8 Задания к лабораторной работе
1.Используя интерполяционные полиномы Лагранжа, Ньютона «вперед», Ньютона «назад» и табличные данные, найти интерполяционные многочлены и сравнить их между собой.
2.Вычислить промежуточные значения табличной функции в точках х=1,2 и х=1,75.
3.С помощью программ из пакета лабораторных прикладных программ определить промежуточные значения табличной функции в тех же точках теми же интерполяционными методами. Сравнить полученные результаты с результатами аналитических расчетов.
9 Содержание отчета
1 Цель работы.
2 Краткие теоретические сведения о методах численного интерполирования, граф-схемы алгоритмов.
3 Результаты численного интерполирования, расчеты, таблицы и графики.
4 Выводы по лабораторной работе, подтвержденные данными таблицы, графиками и расчётами.
10 Контрольные вопросы
1 Что такое «аппроксимирующая функция»? Точечная и непрерывная аппроксимация.
2.Чем интерполяция отличается от экстраполяции?
3.Расскажите о постановке задачи интерполирования.
4.Выведите интерполяционную формулу Ньютона.
5.Особенности использования интерполяционных формул Ньютона.
6.Аппроксимация с помощью кусочных полиномов.
Лабораторная работа №4
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель лабораторной работы – закрепить на практике теоретические знания, полученные на лекционных занятиях при изучении следующих численных методов решения нелинейных уравнений:
графические методы;
метод половинного деления;
метод хорд;
метод касательных и его видоизмененная форма;
комбинированные методы;
метод последовательных приближений и его усовершенствованная версия;
метод Монте-Карло.
В результате проведения лабораторной работы студенты должны
знать:
особенности применения и алгоритмы реализации различных численных методов решения нелинейных уравнений;
ограничения, налагаемые на методы решения нелинейных уравнений в зависимости от вида уравнения;
практические подходы к решению нелинейных уравнений различными методами.
уметь
выбирать и реализовывать методы численного решения нелинейных уравнений с учетом скорости сходимости итерационного процесса к решению и вида самого уравнения.
1 Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Нахождение корней уравнения – это одна из древнейших математических проблем; и сейчас она часто встречается в самых разнообразных областях науки и техники.
В общем случае, когда имеется функция F(x), то бывает необходимо найти также значение аргумента х, для которых
F(x)=0 (1)
Функция F(x) может быть алгебраической или трансцендентной; мы будем предполагать, что она дифференцируема.
В общем случае функции, которые мы будем рассматривать, не имеют аналитических формул для своих корней, как, например, квадратное уравнение.
Поэтому приходится пользоваться приближенными методами нахождения корней, которые в основном состоят из двух этапов:
отыскание приближенного значения корня;
уточнение его до некоторой заданной степени точности.
Часто приближенное значение корня бывает известно из физических соображений; в других случаях можно использовать графические методы. Кроме того, существуют специальные методы нахождения приближенного корня.
Основное внимание мы уделим второму этапу.
Численный метод, в котором производится последовательное, шаг за шагом, уточнение первоначального грубого приближения, называется методом итераций (методом последовательных приближений). Каждый шаг в таком методе называется итерацией.
Если при последовательных итерациях получаются значения, которые все ближе и ближе приближаются к истинному значению корня, то говорят, что метод итераций сходится.
Практическая ценность численного метода в значительной мере определяется быстротой и эффективностью полученного решения. Выбор необходимого алгоритма для решения уравнений зависит от характера рассматриваемой задачи.
Задачи, сводящиеся к решению алгебраических и трансцендентных уравнений, можно классифицировать по числу уравнений и в зависимости от предполагаемого характера и числа решений. Классификация уравнений в таком плане представлена на рис.4.1.
Уравнение будем называть линейным, алгебраическим или трансцендентным в зависимости от того, имеет ли оно одно решение, n решений или неопределенное число решений.
Систему уравнений будем называть линейной или нелинейной в зависимости от математической природы входящих в нее уравнений.
Рисунок 4.1 – Классификация уравнений
Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например, lgx или ex , называются трансцендентными.
Рассмотрим несколько различных итерационных методов решения уравнений, условия сходимости методов.