- •1 Системы линейных алгебраических уравнений
- •1.Решение системы существует и является единственным.
- •2. Система уравнений вообще не имеет решений.
- •3. Система уравнений имеет бесконечное множество решений
- •2 Итерационные методы решения систем линейных уравнений
- •Геометрическое истолкование процесса
- •3 Метод исключения (метод Гаусса)
- •4 Задания для самостоятельной работы
- •5 Задания для практической работы
- •6 Задания к лабораторной работе
- •Варианты задания
- •7 Содержание отчета
- •8 Контрольные вопросы
- •1 Формула прямоугольников
- •1.1 Формула «левых» прямоугольников
- •1.2 Формула «правых» прямоугольников
- •1.3 Формула «средних» прямоугольников
- •1.4 Случай неравноотстоящих узлов
- •1.5 Алгоритм вычисления интеграла функции, заданной
- •2 Формула трапеций
- •2.1 Вывод формулы
- •2.2 Оценка погрешности формул прямоугольников и трапеций
- •3 Формула Симпсона
- •4 Формула Гаусса
- •5 Задания для самостоятельной работы
- •5 Задания для практической работы
- •6 Задания к лабораторной работе
- •7 Содержание отчета
- •8 Контрольные вопросы.
- •1 Понятие о приближении функции
- •2 Точечная аппроксимация. Задача интерполирования
- •3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4 Интерполяционная формула Ньютона
- •5 Аппроксимация с помощью кусочных полиномов
- •6 Аппроксимация сплайнами
- •7 Задания для самостоятельной работы
- •8 Задания к лабораторной работе
- •9 Содержание отчета
- •10 Контрольные вопросы
- •1 Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
- •2 Графическое решение уравнений
- •3 Метод половинного деления
- •4 Метод хорд (пропорциональных частей, ложного положения)
- •5 Метод Ньютона (метод касательных)
- •Внеся эту поправку в (2), найдем следующее по порядку приближение корня:
- •6 Видоизмененный метод Ньютона (метод Рыбакова)
- •7 Метод секущих (комбинированный метод секущих-хорд)
- •8 Комбинированный метод касательных-хорд
- •9 Метод последовательных приближений
- •10 Усовершенствованный метод последовательных приближений
- •11 Метод Монте-Карло
- •12 Задания для самостоятельной работы
- •13 Задания к лабораторной работе
- •14 Содержание отчета
- •15 Контрольные вопросы
- •Вычислительные методы Методические указания по проведению лабораторных работ
- •65044, Украина, Одесса, пр. Шевченко, 1
- •65044, Украина, г.Одесса, пр. Шевченко, 1, корп. 5
Геометрическое истолкование процесса
Мы начинаем искать решение от начала координат (0;0). Так как при вычислении х мы должны сохранять неизменным у, то геометрически это соответствует движению по горизонтали до пересечения с прямой, соответствующей 1-ому уравнению. Затем, сохраняя неизменным найденной значение х, движемся по вертикали, пока не пересечем прямую, соответствующую 2-ому уравнению. На рисунке такому процессу соответствует путь ОАВ. На этом заканчивается одна итерация. Дальнейшие итерации производятся точно таким же образом. Процесс сходится к решению системы уравнений.
Посмотрим, что случится, если мы переставим уравнения.
Решение системы не изменилось, но диагональные коэффициенты по модулю стали меньше недиагональных. При этом получим:
Результаты последовательных итераций составят:
Итерация |
х |
у |
0 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
6 |
2 |
10 |
-18 |
3 |
-33 |
78 |
Из таблицы видно, что итерационный процесс с каждой новой итерацией удаляет нас от решения системы, то есть итерационный процесс расходится. В отличие от первого случая, мы здесь начинаем движение от начала координат по оси х в противоположном направлении, т.е. к графику второго уравнения системы (2.9).
Рассмотрим еще один вариант системы, в которой один из диагональных коэффициентов по модулю больше, а другой – меньше недиагонального коэффициента.
(2.10)
Решением системы является х = 1, у = 1. При этом получим:
Результаты последовательных итераций составят:
-
Итерация
х
у
0
0
0
1
3
3/2
2
0
3/4
3
3/2
9/8
4
3/4
15/16
Видно, что итерационный процесс сходится к решению системы.
Таким образом, выполнение для системы из двух уравнений условия, при котором диагональные коэффициенты по модулю больше недиагональных, гарантирует сходимость метода, но в то же время существуют системы, для которых эти условия не выполняются, но метод итераций все равно сходится. Поэтому указанные условия для системы являются достаточными условиями для сходимости, но не являются необходимыми.
Рисунок 1.6 – Итерационный процесс решения системы (2.10)
В обоих рассмотренных случаях сходимость (или расходимость) носит колебательный характер, то есть итерационный процесс развивается по спирали. Однако, в зависимости от уравнений системы, итерационный процесс может сходиться к решению системы с одной стороны.
Приведем без доказательства достаточные условия сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя для системы (2.8) из n уравнений с n неизвестными.
Введем определение: система уравнений называется неприводимой, если нельзя вычислить какие-либо неизвестные, решая меньше чем n уравнений.
Если система уравнений неприводима, и если для всех i выполняется:
,
и если по крайней мере для одного i выполняется
,
то итерационный метод Гаусса-Зейделя сходится к решению системы уравнений (2.8).