10 Усовершенствованный метод последовательных приближений

Хотя каждое последующее значение x_n находится ближе к решению уравнения, чем предшествующее x_n-1, все они значительно отличается от a. Можно было бы добиться более быстрой сходимости метода, если бы при каждой очередной итерации делать большую поправку к очередному значению x_n.

Р исунок 4.11 – Усовершенствованный метод

последовательных приближений

Поэтому, вместо того, чтобы полагать

x_n+1=x_n+∆x ,

где

∆x=f(x_n)-x_n,

можно принять следующую формулу для х:

x_n+1=x_n+α ∆x,

где α >1 .

Эта идея поясняется на рис.4.11, где в увеличенном виде изображен фрагмент рис. 4.10. Наилучшим выбором α следует считать тот, при котором

x_n+1 = а.

Определим это значение α.

Из рис. 4.11 получим:

. (11)

С другой стороны

. (12)

Используя теорему о среднем значении, имеем:

(13)

где .

Подставив (13) в (11), получим значение в виде:

. (14)

Значение ξ неизвестно, но для можно принять приближение:

(15)

Формула итерационного метода приобретает при этом вид:

,

где α определяется по (14) и (15).

11 Метод Монте-Карло

Метод обеспечивает гарантированную сходимость решения нелинейных уравнений. В этом случае программно генерируется случайные числа V_n с равномерным распределением на интервале [0,1], которые затем пересчитываются в интервал [a,b]. При этом

x_n=a+(b-a)V_n.

Затем для случайного числа x_n вычисляется f(x_n).

Если

f(a)•f(x_n)>0, то x_n=a,

если

f(a)•f(x_n)<0, то x_n=b.

Таким образом интервал [a,b] сужается с обоих концов по случайному закону до тех пор, пока |b-a|<ε.

12 Задания для самостоятельной работы

1.Повторить следующие методы решения нелинейных уравнений:

• метод половинного деления;

• метод хорд;

• метод касательных и его видоизмененная форма;

• комбинированные методы;

• метод последовательных приближений и его усовершенствованная версия;

• метод Монте-Карло.

2.Обратить внимание на метод касательных и метод последовательных приближений. Изучить их особенности.

3.Составить граф-схемы алгоритмов:

• метода половинного деления;

• метода хорд;

• метода Ньютона;

• метода простой итерации.

4.По граф-схемам алгоритмов составить программы численного решения уравнений.

13 Задания к лабораторной работе

Решить вариант задания с точностью ε=10^-1, 10^-2, 10^-3,10^-4 методами:

• половинного деления;

• хорд;

• касательных;

• Рыбакова;

• секущих-хорд;

• касательных-хорд;

• последовательных приближений

и сравнить их между собой по скорости сходимости итерационного процесса. Номер варианта из табл. 3 соответствует порядковому номеру студента по списку.

При решении задач использовать программное обеспечение, разработанное в процессе самостоятельной подготовки, а также программы изпакета лабораторных прикладных программ.

Таблица 1 – Варианты задания

№ вар	Уравнение	№ вар	Уравнение
1	2х^3+2х-1=0	13	2х^3+ х-1=0
2	2х^3+4х-1=0	14	2х^3+3х-1=0
3	2х^3+6х-1=0	15	2х^3+5х-1=0
4	2х^3+8х-1=0	16	2х^3+7х-1=0
5	3х^3+2х-1=0	17	3х^3+ х-1=0
6	3х^3+2х-1=0	18	3х^3+3х-1=0
7	3х^3+3х-1=0	19	3х^3+5х-1=0
8	3х^3+5х-1=0	20	3х^3+7х-1=0
9	4х^3+ х-1=0	21	4х^3+2х-1=0
10	4х^3+3х-1=0	22	4х^3+4х-1=0
11	4х^3+5х-1=0	23	4х^3+6х-1=0
12	4х^3+7х-1=0	24	4х^3+8х-1=0