3. Соединение фаз генератора и приемника звездой

На рисунке 4 показана шестипроводная трехфазная цепь как совокупность трех самостоятельных, электрически не связанных однофазных цепей, подготовленных к соединению звездой.

Рис. 4

Если объединить концы фаз генератора X, Y, Z в электрический узел N, концы фаз приемника в узел n и заменить три обратных провода X–x, Y–y и Z–z одним проводом N–n, то получится электрически связанная трехфазная цепь, получившая название «звезда с нейтральным проводом» или «четырехпроводная звезда».

Рис. 5

Такая схема показана на рисунке 5. Электрический узел N получил название нейтральная точка генератора, узел n – нейтральная точка приемника. Иногда нейтральные точки N и n называют как и раньше нулевыми точками и обозначают О и О.

Провод N–n, соединяющий нейтральные точки генератора и приемника называются нейтральным (нулевым) проводом.

Провода A–a, B–b, C–c, соединяющие начала фаз генератора с началами одноименных фаз приемника называются линейными проводами (рис. 5).

В дальнейшем будем рассматривать генератор трехфазного тока как источник бесконечно большой мощности, у которого отсутствуют внутренние сопротивления, а следовательно, будут равны нулю внутренние потери напряжения, что позволяет заменить э.д.с. генератора соответствующими напряжениями E_A = U_A, E_B = U_B, E_C = U_C, что и показано на рисунках 4 и 5. По аналогии с равенством (3) можно записать в комплексной форме:

(5)

.

Дадим основные определения, которые являются общими как для схемы включения звездой, так и для схемы включения треугольником.

Фазным током генератора (или приемника) называется ток в фазе генератора (или приемника).

Линейным током называется ток в линейном проводе.

Фазным напряжением генератора (или приемника) называется разность электрических потенциалов, то есть напряжение между началом и концом одной и той же фазы генератора (или приемника).

Линейным напряжением называется напряжение между началами двух разных фаз генератора (или приемника).

Применительно к генератору, соединенному звездой, например, фазное напряжение U_A – это напряжение (разность потенциалов) между началом фазы A и ее концом X (рис. 4), или между началом фазы A и нейтральной точкой N (рис. 5), потенциал которой является электрическим потенциалом всех трех концов фаз X, Y, Z.

Основные соотношения между напряжениями и токами в трехфазной схеме, соединенной звездой

Как вытекает из самого принципа соединения звездой, является очевидным, что линейный ток равен фазному: I_Л = I_Ф. Действительно, как видно из рисунка 5, ток I_A протекает по фазе A генератора, не разветвляясь протекает по линейному проводу A–a и не разветвляясь течет по фазе a приемника.

Ток I_N в нейтральном проводе в соответствии с первым законом Кирхгофа равен сумме фазных (линейных) токов.

В аналитическом методе расчета эта сумма алгебраическая:

i

(6)

_N = i_A + i_B + i_C,

где малыми буквами обозначены мгновенные значения токов.

В методе векторных диаграмм эта сумма векторная:

(7)

где большими буквами обозначены действующие (средние квадратичные за период) значения токов.

В символическом методе эта сумма алгебраическая [1]:

(8)

где складываются комплексы действующих значений токов .

Р ассмотрим, как соотносятся фазные и линейные напряжения применительно к генератору бесконечной мощности, соединенному звездой.

На рисунке 6 показана схема, на которой вольтметр V подключен к началам двух разных фаз А и В. Очевидно падение напряжения на внутренней цепи вольтметра будет представлять собой линейное напряжение U_AB.

Составим, задавшись направлением обхода (рис. 6), уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного вольтметром V и фазами А и В генератора в векторной форме (метод векторных диаграмм) и перепишем его в виде:

(9)

.

Переключив вольтметр на две другие пары зажимов, получим аналогичные равенства:

(10)

Таким образом, при соединении звездой вектор линейного напряжения равен геометрической разности векторов двух соответствующёих фазных напряжений.

Решим полученные равенства графически с учетом того, что идеальный генератор вырабатывает симметричную систему фазных напряжений, которая может быть представлена симметричной трехлучевой звездой векторов (рис. 7).

Рис. 7

Для необходимых графических построений воспользуемся правилом сложения векторов методом многоугольника [1] (в нашем случае методом треугольника), представив записи полученных зависимостей (9) и (10) в виде суммы типа

(11)

.

Рассмотрим подробно (рис. 7) построение вектора (все операции выполняются с соблюдением выбранного масштаба напряжений). Методом параллельного переноса совмещаем начало вектора с концом вектора первого слагаемого . Как известно суммарный вектор получится соединением начала первого слагаемого с концом последнего (в нашем случае второго ).

Проделав аналогичные операции в соответствии с равенствами (10) получаем расположения векторов и (рис. 7). Как видно из рисунка 7 три вектора линейных напряжений , и образуют симметричную трехлучевую звезду векторов, которая опережает звезду фазных напряжений на 30° (с учетом вращения векторов против часовой стрелки).

Чтобы выяснить соотношение между линейным U_Л и фазным U_Ф напряжениями, рассмотрим прямоугольный треугольник mq0 (рис. 7), который получается, если опустить из вершины тупого угла одного из равнобедренных треугольников высоту (которая является и медианой).

Из mq0 следуют очевидные равенства: отрезок = ; поскольку он является прилегающим к углу 30° катетом, то = cos30°=U_Ф ( =U_Ф).

Приравняв правые части двух равенств, получим:

U

(12)

_Л = U_Ф,

то есть линейное напряжение генератора, соединенного звездой, в раз больше фазного ( = 1,73).

Что касается приемника, соединенного звездой, то это соотношение соблюдается только при симметричной нагрузке или при наличии нейтрального (нулевого) провода, если пренебречь его сопротивлением и сопротивлениями линейных проводов.

В дальнейшем будем, как правило, рассматривать трехфазные цепи, считая сопротивления линейных проводов и сопротивление нейтрального провода (если он есть) равными нулю.

С учетом этого предположения можно утверждать, что на приемник, соединенный звездой с нейтральным проводом, передаются от генератора без изменения величины потенциалы начал фаз А, В, С и нейтральные точки N. Таким образом система линейных и фазных напряжений на приемнике при наличии нейтрального провода будет такой же, как и на генераторе, то есть симметричной.

В этом случае электрические потенциалы линейных проводов будут равны потенциалам начал одноименных фаз генератора и приемника, а потенциал нейтрального провода будет иметь потенциал концов всех трех фаз генератора и приемника.

С учетом сказанного является очевидным, что фазное напряжение генератора или приемника можно определить как разность потенциалов между соответствующим линейным проводом и нейтральным проводом, а линейное напряжение как разность потенциалов между двумя линейными проводами.

Отметим, что векторная диаграмма фазных и линейных напряжений генератора, соединенного звездой (рис. 7), может быть представлена в более компактном виде, поскольку векторы линейных напряжений , , одновременно являются сторонами равностороннего треугольника, вершины которого – концы векторов соответствующих фазных напряжений , , (рис. 8).

Н а рисунке 8 такая диаграмма показана в комплексной плоскости, что позволяет по аналогии с равенствами (9) и (10) получить комплексы линейных напряжений:

(13)

(13)

,

где в соответствии с равенствами (2): ; ; .

Сделав соответствующие подстановки в (13), получим:

(14)

Нетрудно убедиться, что ввиду симметрии системы линейных напряжений всегда будет справедливо равенство (необходимо сложить правые части равенств (13) или (14)):

(15)

.