4. Режимы работы трехфазной цепи при соединении звездой

Будем рассматривать режимы работы трехфазной цепи с нейтральным проводом при условии, что генератор является источником бесконечной мощности, а линейные провода и нейтральный провод не создают потерь напряжения при любой величине токов в них, то есть их полные сопротивления равны нулю (z_л = 0; z_N = 0).

На рисунке 9 показана такая схема с возможностью измерения фазных (линейных) токов, тока в нейтральном проводе амперметрами А и напряжения U_N между нейтральными точками генератора и приемника вольтметром V.

На схеме все электрические величины показаны как комплексные числа. В дальнейшем будем при необходимости считать, что , и т.д., поскольку комплексные напряжения и токи – это те же векторы, что и изображающие их комплексные числа. Это позволяет строить векторные диаграммы как в комплексной системе координат, так и без нее.

Рис. 9

Очевидно с учетом принятых допущений режим работы всей цепи будет определяться тем, в каком режиме находится приемник и в каком положении находится ключ К, замыкающий или размыкающий нейтральный провод N–n.

Первый режим, который мы рассмотрим – это режим симметричной нагрузки, когда приемник является симметричным.

Симметричной называется нагрузка, при которой комплексные сопрёотивления фаз приемника равны друг другу:

(16)

z_Ф e ^j = r_Ф + jx_Ф,

где

[1]

То есть величины полного (кажущегося) сопротивления каждой фазы приемника z_Ф равны друг другу, а фазные токи будут сдвинуты относительно «своих» фазных напряжений на один и тот же угол φ.

Предположим, что ключ К на схеме (рис. 9) замкнут, то есть со стороны генератора на зажимы приемника a, b, c, n подается симметричная система фазных и линейных напряжений (рис. 8).

Применим закон Ома в комплексной форме [1] для фаз симметричного приемника

= ; = ; = .

Комплекс тока в нейтральном проводе согласно первому закону Кирхгофа равен алгебраической сумме комплексов фазных токов

(17)

= + + .

Сделав соответствующие подстановки в правую часть равенства (17), получим:

(18)

= ,

то есть ток в нейтральном проводе отсутствует из-за того, что обращается в ноль выражение в скобках (5).

Таким образом при симметричной нагрузке необходимость в нейтральном проводе отпадает, и схема превращается в «трехпроводную звезду» или «звезду без нейтрального провода».

Поэтому заведомо симметричные приемники (например электродвигатели трехфазного тока: асинхронные и синхронные) подключаются к питающей сети только тремя линейными проводами.

В качестве примера на рисунке 10 показана «трехпроводная звезда» с симметричным активно-емкостным приемником. Предположим, что активное и емкостное сопротивления равны друг другу по величине (модулю) r = x_c. Комплексные сопротивления фаз одинаковы и равны , где , .

Рис. 10

Симметричность приемника предполагает равенство нулю тока в нейтральном проводе ( ), поэтому на схеме (рис. 10) провод N–n не показан.

Рис. 11

На рисунке 11а показана векторная диаграмма фазных напряжений и токов без увязки с системой координат +1, +j комплексной плоскости. Очевидно фазные токи будут одинаковы по величине и опережать «свои» фазные напряжения на угол φ = –45° (как это показано на диаграмме (рис. 11а)). Нетрудно видеть, что три тока образуют симметричную трехлучевую звезду векторов, опережающую на угол φ = –45° звезду векторов фазных напряжений.

Убедимся, что геометрическая сумма векторов фазных токов, показанных в виде трехлучевой симметричной звезды на рисунке 11б, равна нулю, то есть

(19)

.

Решим равенство (19) графически (рис. 11б), используя сложение векторов по правилу многоугольника [1].

В качестве первого слагаемого принимаем вектор . Посредством параллельного переноса второго слагаемого вектора (при соблюдении выбранного масштаба) совмещаем его начало с концом первого слагаемого . Проделав аналогичную операцию с третьим слагаемым вектором , убеждаемся, что его конец совпадает с началом первого слагаемого . Поскольку суммарный вектор получается соединением начала первого слагаемого с концом последнего, то суммарный вектор в рассматриваемом случае равен нулю.

Если не соблюдается условие симметричности приемника, то следует предположить появление тока в нейтральном проводе (I_N > 0). Дадим общее определение несимметричной нагрузки.

Несимметричной называется нагрузка, при которой комплексные сопротивления фаз приемника не равны друг другу, то есть .

Следует отметить, что приведенные здесь понятия симметричной и несимметричной нагрузки распространяются и на трехфазные цепи, соединенные треугольником.

Одним из частных случаев несимметричной нагрузки является равномерная нагрузка, при которой по фазам приемника протекают одинаковые по величине токи, но углы сдвига φ между фазными напряжениями и токами отличаются по величине или знаку. Применительно к схеме «звезда с нейтральным проводом» это означает, что модули комплексов сопротивлений фаз равны друг другу: z_a = z_b = z_c = z_Ф, а аргументы – не равны: φ_a  φ_b  φ_c.

Рассмотрим численный пример равномерной нагрузки, когда в схему четырехпроводной звезды (рис. 9) включен приемник с линейным напряжением U_Л = 380В. Фазы приемника имеют одинаковые по величине сопротивления, но различаются по физической природе (рис. 12а): комплексное сопротивление фазы a–x: (резистор); фазы b–y: (идеальный конденсатор); фазы c–z: (идеальная катушка индуктивности).

При наличии нейтрального провода система фазных напряжений приемника симметрична, то есть фазное напряжение на всех фазах одно и то же: . Поскольку модули комплексных сопротивлений всех фаз одинаковы z_a = z_b = z_c = z_Ф =10 Ом, то величина тока во всех фазах одна и та же: .

Рис. 12

В соответствии с первым законом Кирхгофа вектор тока в нейтральном проводе равен геометрической сумме векторов фазных (линейных) токов (17):

.

Решим это равенство графическим методом, построив соответствующую векторную диаграмму (рис. 13).

Рис. 13

Задача облегчается тем, что векторы фазных токов при выбранном масштабе имеют одинаковую длину и сдвинуты относительно своих фазных напряжений на удобные для построения углы: .

В отличие от симметричной нагрузки векторы токов вместо симметричной звезды векторов образуют «метелку». Просуммировав векторы в соответствии с равенством (17) по правилу многоугольника, получим суммарный вектор тока в нейтральном проводе, который равен, как в этом нетрудно убедиться с учетом показанных геометрических построений на рисунке 13

.

То есть в приведенном примере ток в нейтральном проводе намного превосходит токи в линейных проводах (фазные токи приемника). Такой случай на практике может встретиться только теоретически.

Рис. 14

Кстати при наличии в фазах приемника реактивных сопротивлений большое значение имеет их взаимное расположение по фазам. Покажем это на рассмотренном выше примере, поменяв местами реактивные сопротивления в фазах b–y и c–z (рис. 12б). На рисунке 14 показана векторная диаграмма фазных токов и напряжений и проведено графическое построение вектора тока в нейтральном проводе в соответствии с равенством

.

Можно показать, что величина этого тока

,

то есть изменение только структуры одного и того же приемника снизило ток в нейтральном проводе в 3,75 раза.

Поскольку при несимметричной нагрузке по нейтральному проводу всегда протекает ток I_N > 0, то можно предположить наличие разности электрических потенциалов между нейтральными точками N генератора и n приемника.

Эта разность потенциалов при разомкнутом нейтральном проводе (ключ K на схеме рис. 9 разомкнут) получила название «напряжение смещения нейтрали», величину которого U_N можно измерить вольтметром V (рис. 9).

Формулу для расчета напряжения U_N можно получить, воспользовавшись методом узловых потенциалов, а точнее методом двух узлов, поскольку схема на рисунке 9 содержит два электрических узла N и n. Вывод такой формулы узлового напряжения для цепей постоянного тока приведен в [2].

Применительно к схеме на рисунке 9 эта зависимость в комплексной форме записи имеет вид:

(20)

где – комплекс напряжения смещения нейтрали;

, , – комплексы фазных напряжений генератора, образующих

симметричную систему векторов (рис. 8);

; ; – комплексы проводимостей фаз

приемника с учетом комплексных сопротивлений линейных

проводов (если эти сопротивления не равны нулю [7]).

– комплексная проводимость нейтрального провода; – его

комплексное сопротивление.

Рассмотрим случай обрыва нейтрального провода (ключ K на схеме рис. 9 разомкнут) при несимметричной нагрузке (   ) с учетом того, что вольтметр V показывает величину U_N напряжения смещений нейтрали.

Нас будут интересовать фазные напряжения приемника как падения напряжения, создаваемые фазными (линейными) токами на полных сопротивлениях z_a, z_b, z_c фаз (U_Ф = I_Фz_Ф).

Запишем в комплексной форме уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного фазой A–X генератора, линейным проводом A–a, фазой a–x приемника и цепью вольтметра V между точками N и n (ключ K на схеме рис. 9 разомкнут):

Аналогично для контура B–Y, B–b, b–y, N–n и контура C–Z, C–c, c–z, N–n можно записать:

Перепишем полученные равенства в виде

(21)

,

то есть комплексы фазных напряжений приемника получаются алгебраическим вычитанием из комплексов фазных напряжений генератора одной и той же величины: комплекса напряжения смещения нейтрали.

Аналогичные зависимости можно записать и в векторной форме:

(22)

Можно показать, что при вычитании из трех векторов , , , образующих симметричную систему, одного и того же вектора полученные векторы , , будут отличаться друг от друга по величине и не будут сдвинуты по фазе на 120°.

Таким образом при наличии напряжения смещения нейтрали (U_N > 0) работа фаз приемника будет ненормальной, поскольку фазные напряжения будут отличаться от нормальной величины и будут изменяться при изменении режима работы отдельных фаз.

Чтобы восстановить нормальную работу фаз при несимметричной нагрузке необходимо замкнуть ключ K (рис. 9) и восстановить цепь нейтрального провода N–n, сопротивление которого Z_N = 0 . В результате знаменатель в равенстве (20) также стремится к бесконечности, вследствие чего , то есть потенциал нейтральной точки N генератора передается нейтральной точке n приемника.

Поэтому согласно равенствам (21) и (22) фазные напряжения на приемнике , , , то есть становятся равными соответствующим напряжениям генератора.

На этом основании принято считать, что нейтральный провод обеспечивает независимую работу фаз несимметричного приемника, поскольку фазные напряжения приемника равны друг другу и не зависят от режима работы отдельных фаз.

Следует иметь в виду, что система линейных напряжений на приемнике всегда симметрична вне зависимости от того, есть ли нейтральный провод или он разомкнут. Исключение составляет режим при обрыве линейного провода.

Из равенства (20) можно еще раз убедиться, что при симметричной нагрузке ( ) напряжения смещения нейтрали (поскольку обращается в ноль числитель, и система фазных напряжений приемника будет симметричной как это следует из равенств (21)).

На рисунке 15 приведена векторная диаграмма фазных напряжений генератора и приемника с несимметричной активной нагрузкой во всех фазах (φ_a = φ_b = φ_c = 0, r_a  r_b  r_c) при обрыве нейтрального провода (U_N > 0).

Рис. 15

Из диаграммы видно, что фазные напряжения приемника (они, как и вектор , показаны пунктиром) в соответствии с равенствами (21) и (22) представляют собой несимметричную трехлучевую звезду векторов с центром в точке n. Для рассматриваемого случая фазные напряжения U_a > U_A , U_b < U_B , U_c > U_C. Если в качестве активной нагрузки предположить лампы накаливания, то в фазах a–x и c–z приемника лампы будут быстро перегорать, а в фазе b–y гореть вполнакала.

Как видно из диаграммы (рис. 15) токи I_A, I_B, I_C совпадают по фазе со «своими» фазными напряжениями U_a, U_b, U_c и в сумме дают ноль в соответствии с первым законом Кирхгофа при обрыве нейтрального провода.

Если восстановить цепь нейтрального провода N–n, то напряжение смещения нейтрали U_N = 0; точка n будет совпадать с нейтральной точкой N генератора, и система фазных напряжений на приемнике станет симметричной.