- •Кафедра «Электромеханические комплексы и системы»
- •Часть 1
- •Электрические цепи однофазного синусоидального тока
- •Основные определения
- •Простейший генератор синусоидального тока
- •Действующее значение переменного тока
- •Изображение синусоидальных функций вращающимися векторами
- •Цепь с резистивным элементом
- •Цепь с индуктивным элементом
- •Понятие о поверхностном эффекте
- •Цепь с емкостным элементом
- •Цепь с последовательным соединением r, l и c
- •Резонанс напряжений
- •Цепь с параллельным соединением r, l и c
- •Резонанс токов
- •Коэффициент мощности и способы его повышения
- •Символический медот расчета цепей синусоидального тока
- •Общие замечания
- •Основные определения и алгебраические операции с комплексными числами
- •Закон Ома в комплексной форме
- •Законы Кирхгофа в комплексной форме
- •Комплексная мощность
- •Список литературы
- •Контрольные вопросы
- •Часть 1
Закон Ома в комплексной форме
Поскольку синусоидальные токи и напряжения изображаются векторами, то, совместив начало каждого вектора с началом координат 0 комплексной плоскости, можно утверждать, что конец вектора (точка) является комплексным числом, а длина вектора (модуль комплексного числа) с учетом масштаба представляет собой величину соответствующего тока или напряжения.
Принято обозначать комплексы токов, напряжений и мощностей соответствующими буквами с точками наверху ( ), а комплексы сопротивлений и проводимостей, которые не являются гармоническими функциями времени, – подчеркиванием внизу (Z, Y).
Рассмотрим переход от параметрического метода расчета к символическому на примере закона Ома для цепи с последовательным соединением активного r, индуктивного xL и емкостного xC сопротивлений. Закон Ома в параметрическом методе (43) записывается в виде:
,
где – полное сопротивление цепи (гипотенуза треугольника сопротивлений), r и соответственно x = xL − xC – активное и реактивное сопротивления цепи как катеты треугольника сопротивлений (рис.23б).
Угол в треугольнике сопротивлений – угол сдвига по фазе между током I и напряжением U на входе цепи (рис. 23б).
Предположим, что цепь имеет индуктивный характер (xL > xC) и перенесем векторную диаграмму напряжения и тока в комплексную плоскость, совместив начала векторов напряжения и тока с началом 0 координат +1, +j. Очевидно концы векторов и (точки) представляют собой комплексы действующих значений напряжения и тока (рис. 33).
Рис. 33
Умножив вектор тока на вещественное число (скаляр) z, получим вектор , равный по длине вектору , но сонаправленный с вектором тока . Чтобы получить истинное положение вектора на диаграмме (рис. 33), необходимо умножить вектор на оператор поворота ej на угол в положительном направлении (против часовой стрелки). Таким образом можно записать:
(68)
г
(69)
– комплексное сопротивление цепи,
r = zcos = ReZ – активное сопротивление;
x = zsin = ImZ – реактивное сопротивления цепи.
Из равенства (68) следует: – закон Ома для последовательной цепи.
Введем понятие об эквивалентной комплексной проводимости, устранив мнимую единицу j в знаменателе
(70)
где – активная проводимость;
– реактивная проводимость;
– полная (кажущаяся) проводимость эквивалентной параллель-
ной цепи.
Очевидно закон Ома для разветвленной (параллельной) цепи имеет вид:
(71)
Сделаем обратный эквивалентный переход от параллельной цепи к последовательной
(72)
где – активное сопротивление;
– реактивное сопротивление;
– полное (кажущееся) сопротивление эквивалентной последо-
вательной цепи.
Следует обратить внимание, что при эквивалентных переходах от последовательной цепи к параллельной и наоборот знак реактивной составляющей изменяется на противоположный.
Законы Кирхгофа в комплексной форме
При использовании комплексных чисел возникает полная аналогия записей уравнений по законам Ома и Кирхгофа, а также методов расчета цепей синусоидального тока с цепями постоянного тока, рассмотренных в [2].
В цепях постоянного тока в уравнения входят действительные значения E, U, I, r, а в цепях синусоидального – комплексные значения .
Ранее были получены выражения для закона Ома в комплексной форме
– для последовательной цепи;
– для параллельной цепи.
В цепях постоянного тока:
– для последовательной цепи;
– для параллельной цепи.
По аналогии с цепями постоянного тока [2] запишем в комплексной форме законы Кирхгофа:
I закон: – алгебраическая сумма комплексов действующих значений
токов в узле равна нулю.
II закон: – алгебраическая сумма комплексов действующих
значений э.д.с. в замкнутом контуре равна алгебраи-
ческой сумме комплексов падений напряжения в вет-
вях, образующих этот контур.
Приведем в качестве примера, как правильно читается первый закон Кирхгофа для простейшего электрического узла (рис. 11) при использовании аналитического метода, метода векторных диаграмм (графического) и символического метода:
аналитический метод:
– алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле
равна нулю;
метод векторных диаграмм:
– геометрическая сумма векторов действующих значений
токов в узле равна нулю;
символический метод:
– алгебраическая сумма комплексов действующих значений
токов в узле равна нулю.