Резонанс токов

Резонанс токов – это такой режим работы разветвленной цепи с параллельным включением активного, индуктивного и емкостного элементов, при котором индуктивная и емкостная проводимости равны друг другу (b_L = b_C).

То есть резонанс токов наступает при условии , как и резонанс напряжений при условии . По аналогии с механическими колебательными системами резонанс токов (или напряжений) в электрической цепи синусоидального тока наступает, когда частота вынужденных колебаний f совпадает с частотой собственных колебаний f₀ цепи. Частота собственных колебаний f₀ цепи зависит от соотношения реактивных параметров: индуктивности L и емкости C.

Выражение для f₀ можно получить из приведенных выше равенств

(54)

или для собственной угловой частоты ω₀ = 2πf₀

(55)

Таким образом, если требуется достичь резонанса при заданной частоте f вынужденных колебаний, в частности, при f = 50 Гц, то можно получить величину f₀ = 50 Гц посредством раздельного или совместного воздействия на индуктивность L и емкость C.

Явление резонанса в электрических цепях широко используется в технике (например, известный из школьного курса физики колебательный L–C контур).

Рассмотрим основные соотношения, характеризующие разветвленную цепь в режиме резонанса, вытекающие из соотношения b_L = b_C.

Полная проводимость равна активной g и становится наименьшей, то есть цепь на входе ведет себя как содержащая только резистивный элемент.

В соответствии с законом Ома (51) суммарный ток (на входе цепи) примет наименьшее значение

На рисунке 28 показаны векторы слагаемых токов I_a, I_L, I_C с учетом их сдвига относительно вектора напряжения U для случая резонанса тока (I_L = I_C) и построение векторная диаграмма в соответствии с первым законом Кирхгофа (48).

Рис. 28

По аналогии с резонансом напряжений в реактивных элементах токи I_L и I_C могут значительно превосходить суммарный ток I = I_a, когда будет выполнено условие b_L = b_C >> g.

10. Коэффициент мощности и способы его повышения

Коэффициентом мощности называется отношение активной (средней за период) мощности Р к полной (кажущейся) мощности S.

к

(56)

оэффициент мощности =

Полная мощность, как это следует из треугольника мощности (рис. 29):

где Q – реактивная мощность. Кроме того, справедливы следующие соотношения: S = UI, P = UIcosφ, Q = UIsinφ, где U, I, φ – соответственно действующие значения напряжения и тока и угол сдвига по фазе между напряжением и током на входе потребителя переменного тока. В общем случае результирующая реактивная мощность определяется как разность индуктивной Q_L и емкостной Q_C мощностей

(57)

Нетрудно видеть (рис. 29), что коэффициент мощности может быть представлен как косинус угла сдвига φ между напряжением и током

(58)

Коэффициент мощности можно также получить как отношение активной составляющей к полной величине: сопротивления или проводимости, напряжения или тока эквивалентной последовательной и параллельной цепей, то есть

(59)

как это следует из соответствующих подобных треугольников.

Как известно [2], площадь поперечного сечения проводов линий электропередач и электрических сетей, обмоток электрических машин и трансформаторов выбирается из условий нагрева, то есть по величине тока I, который при заданном напряжении пропорционален полной мощности S = UI. Энергия, преобразуемая из электрической необратимо в другие виды (механическую, тепловую, химическую и др.), то есть используемая человеком для практических целей, пропорциональна активной энергии и соответствующей ей активной мощности Р, которая, как следует из выражения (58), может быть представлена в виде:

(60)

Поскольку U = const (стандартная величина напряжения, подаваемого на зажимы приемника), то одна и та же величина активной мощности Р может передаваться приемнику при большем токе и низком cosφ, или меньшем токе и более высоком значении коэффициента мощности cosφ.

Поэтому выгодно повышать cosφ на входе приемника, поскольку при этом снижается ток I в питающей линии, что позволяет увеличить ее пропускную способность, то есть передать дополнительную активную мощность, а также снизить потери напряжения на входе приемника и потери энергии на нагревание проводов линии электропередачи.

Большинство приемников электрической энергии переменного тока имеет индуктивный характер, то есть они потребляют индуктивную мощность Q_L (асинхронные двигатели, трансформаторы, электромагниты, выпрямители, магнитные пускатели и т.д.). Для уменьшения индуктивной мощности, передаваемой по линии, и повышения тем самым cosφ существует ряд мероприятий, в том числе искусственное повышение cosφ с помощью батареи конденсаторов, которое рассмотрим в этом разделе применительно к однофазному активно-индуктивному приемнику или одной фазе симметричного трехфазного приемника.

На рисунке 30а показана эквивалентная схема приемника, который представлен в виде двух параллельно включенных ветвей: активной r и катушки индуктивности L. Согласно первому закону Кирхгофа вектор действующее значение тока приемника равен геометрической сумме активного и индуктивного токов:

(61)

где величина тока .

Векторная диаграмма напряжения U питающей линии и токов эквивалентной схемы показана на рисунке 30б. Если стороны заштрихованного векторного треугольника токов умножить на напряжение U, то получится подобный исходному треугольник мощностей приемника со сторонами P, Q и S (рис. 30б)

Рис. 30

На рисунке 31а показана схема, на которой параллельно приемнику с помощью ключа K можно включить компенсирующий конденсатор с емкостью С.

Если ключ K разомкнут, то по питающей линии течет ток I = I_пр, чему соответствует векторная диаграмма на рисунке 30б.

Рис. 31

Чтобы уменьшить ток I линии, необходимо замкнуть ключ K (рис. 31а). При этом в цепи конденсатора потечет ток , опережая напряжение U на угол ^π/₂, причем – емкостное сопротивление конденсатора при частоте питающей сети f = 50 Гц (ω = 2πf – угловая частота).

Согласно первому закону Кирхгофа при замкнутом ключе K (рис. 31а)

(62)

где I_p = I_L – I_C – реактивный ток, поступающий из сети. Соответствующая равенству (62) векторная диаграмма показана на рисунке 31б. Из диаграммы видно, что при включенном конденсаторе ток линии изменяется до величины I < I_пр, угол φ между током I в линии и напряжением U уменьшается (φ < φ), а, следовательно, коэффициент мощности увеличится (cosφ > cosφ).

Оказывается, что экономически целесообразно повышать cosφ до величины cosφ = 0,850,9 при отстающем токе I, так как при достижении резонанса cosφ = 1,0 или перекомпенсации, то есть опережающем токе (φ < 0) чрезмерно повышается стоимость устанавливаемых конденсаторов.

Задача повышения cosφ обычно формулируется следующим образом: задан активно-индуктивный приемник, получающий питание от сети с напряжением U и имеющий при заданной активной мощности P = const невысокий cosφ. Необходимо рассчитать емкость компенсирующей батареи конденсаторов такой величины, чтобы коэффициент мощности установки повысился до значения cosφ > cosφ.

Можно показать, что величина емкости С при этом должна рассчитываться по формуле

(63)

Вывод этой зависимости приведен в [7].

Необходимо помнить, что при включении компенсирующего конденсатора (рис. 31а) сам приемник продолжает работать с тем же самым током I_пр и низким cosφ, а коэффициент мощности cosφ повышается на входе всей установки, включающей сам приемник и компенсирующий конденсатор.