Резонанс напряжений

На стадии рассмотрения цепей с идеальными реактивными элементами: индуктивности L и емкости C − можно было предположить, что при совместном включении они будут компенсировать друг друга. Действительно, будучи включенными в последовательную цепь идеальная катушка и конденсатор создают падения напряжения U_L = Ix_L и U_C = Ix_C, находящиеся в противофазе и дающие результирующий вектор реактивного напряжения U_p = U_L – U_C. Очевидно возможен случай полной взаимной компенсации реактивных элементов внутри последовательной цепи, который получил название «резонанс напряжений».

Резонансом напряжений называется такой режим работы цепи с последовательным соединением r, L и С, при котором оказываются равными друг другу индуктивное и емкостное сопротивления, то есть x_L = x_C.

В результате при резонансе напряжений становится справедливым следующие равенства: x = x_L – x_C = 0; U_L = U_C  U_p = U_L – U_C = 0; ;  Q = Q_L – Q_C = 0; ; ; – ток в цепи принимает наибольшее значение. Цепь на входе ведет себя как содержащая только резистивный элемент r.

Сделав в правую часть равенства (46) соответствующие подстановки, а именно cosφ = 1, S = UI, φ = 0, получим выражение

(47)

идентичное равенству (13) для мгновенной мощности цепи с резистивным элементом.

Векторная диаграмма напряжений (U_L = U_C) представлена на рисунке 24. Она соответствует случаю, когда r  x_L = x_C. Если выполняется условие x_L = x_с >> r, то напряжения U_L и U_C будут значительно больше, чем напряжения на выходе U_L = U_C >> U = U_a. Это может привести к электрическому пробою изоляции реактивных элементов, а также представлять опасность для обслуживающего персонала, что необходимо учитывать при эксплуатации таких цепей.

Рис. 24

9. Цепь с параллельным соединением r, l и c

На рисунке 25а показана разветвленная цепь с параллельным включением активного r, индуктивного L и емкостного С элементов. Особенностью такой цепи является то, что все параллельные ветви находятся под одним и тем же напряжением U, то есть работают независимо друг от друга (изменение тока одной из ветвей не влияет на токи остальных).

Рис. 25

Применим закон Ома для каждой ветви рассматриваемой схемы и введем новые обозначения:

Ток в резисторе r

, где [Ом^-1] – активная проводимость (Ом^-1 = См – сименс – единица измерения проводимости [2]).

Ток в индуктивном элементе

, где [См] – индуктивная проводимость.

Ток в емкостном элементе

, где [См] – емкостная проводимость.

Составим уравнение согласно первому закону Кирхгофа в векторной форме применительно к рассматриваемой схеме (рис.25а)

(48)

.

Равенство (48) читается следующим образом:

Вектор тока , входящего в верхний узел, равен геометрической сумме векторов токов , вытекающих из этого узла.

Задавшись масштабом тока, решим это уравнение графически в предположении, что цепь имеет емкостной характер (b_C > b_L  I_C > I_L).

Предположим, что синусоида напряжения имеет нулевую начальную фазу

(49)

То есть вектор действующего значения напряжения на входе цепи (рис. 25а) будет направлен аналогично вектору тока при графических построениях для последовательной цепи (рис. 22а, б).

На рисунке 25б показано положение всех векторов при совмещении их начал в центре вращения 0, а также построена векторная диаграмма как результат сложения векторов тока в соответствии с равенством (48). Порядок построения векторной диаграммы аналогичен рассмотренному в предыдущем разделе (применительно к последовательной цепи).

Полученная векторная диаграмма (рис. 25б) представляет собой графическое решение первого закона Кирхгофа, так как удовлетворяет уравнению (48). Как видно из рисунка 25б в заштрихованном векторном треугольнике токов противолежащий углу φ катет представляет собой вектор, длина которого I_p равна алгебраической разности I_p = I_C – I_L, поскольку векторы и сдвинуты на 180°. Результирующий вектор получил название «реактивный ток». Поскольку I_C = Ub_C, I_L = Ub_L, то

(50)

,

где – реактивная проводимость.

Применив к треугольнику токов теорему Пифагора, получим

(51)

где – полная или кажущаяся проводимость.

Равенство I = Uy (51) представляет собой закон Ома для разветвленной (параллельной) цепи, читающийся так: ток в неразветвленной части цепи прямо пропорционален напряжению. Коэффициентом пропорциональности для разветвленной цепи является полная проводимость y.

Рис. 26

Разделив векторы треугольника токов (рис. 26а) на напряжение U, получим подобный исходному скалярный треугольник проводимостей (рис. 26б). Умножив стороны треугольника токов на напряжение U или стороны треугольника проводимостей на квадрат напряжения U², получим еще один подобный треугольник мощностей (рис. 26в) со сторонами:

P = UI_a = U²g – активная мощность [Вт];

Q = UI_p = U²b – реактивная мощность [вар];

S = UI = U²y – полная (кажущаяся) мощность [ВА].

Как видно из векторной диаграммы (рис. 25б) вектор тока в неразветвленной части цепи опережает вектор напряжения на угол φ < 0 (цепь имеет емкостной характер). С учетом заданной синусоиды напряжения (49), у которой отсутствует начальная фаза (ψ_U = 0), синусоида тока на входе цепи будет иметь вид

(52)

где – амплитуда синусоиды.

Мгновенная мощность на входе цепи представляет собой произведение мгновенных значений напряжения на входе цепи и суммарного тока, то есть произведение соответствующих синусоид (49) и (52)

(53)

Выражение (53) идентично аналогичной зависимости (46) для последовательной цепи.

Рис. 27

На рисунке 27а показана векторная диаграмма амплитудных значений напряжения и тока на входе цепи для момента времени t = 0 с разверткой в функции времени t и фазового угла (рис. 27б). На этом же рисунке показано построение графика мгновенной мощности в соответствии с равенством (53).

Сравнивая одинаковые фазы напряжения и тока на графиках синусоид напряжения и тока (рис. 27б), можно убедиться, что ток i на угол φ опережает напряжение u (емкостный характер нагрузки).

Для сравнения стоит обратить внимание на аналогичный рисунок (рис. 10), на котором синусоида напряжения u опережает на угол φ синусоиду тока i, что соответствует индуктивному характеру такой цепи.