Глава 6. Стохастические интегралы
В ряде случаев важную роль играют интегралы вида
,
(6.1)
где (x,t) – неслучайная функция, (t) – некоторый случайный процесс. Реализации процесса (t) в общем случае являются функциями неограниченной вариации, следовательно, этот интеграл нельзя понимать как интеграл Стилтьеcа или Лебега-Стилтьеса. Если, кроме того, (t) – диффузионный процесс, то не ясно, как понимать d(t) в этом случае.
Если (t) – диффузионный случайный процесс, то интегралы (6.1) называются стохастическими интегралами.
Перейдём к математически корректному определению стохастических интегралов.
Стохастический интеграл в форме Ито
Разделим интервал
[a,b]
точками a=t0<t1<…<tn-1<tn=b
и пусть
.
Рассмотрим сумму
.
Если при 0 существует предел в среднем квадратическом
,
то он называется стохастическим интегралом в форме Ито.
Так как диффузионный процесс (t) недифференцируемый, то стохастический интеграл в форме Ито обладает особым свойством, отличающим его от интеграла Римана для детерминированных функций.
Особенность стохастического интеграла в форме Ито
Пусть (t)=w(t), где w(t) – винеровский процесс такой, что w(0)=0, Mw(t)=0, Dw(t)=t.
Рассмотрим стохастический интеграл
.
По классической формуле интегрирования получим
.
С другой стороны, по определению стохастического интеграла, он равен пределу интегральной суммы. Найдём значение этого предела.
Пусть
.
Рассмотрим
.
Откуда для Sn получим равенство
.
В силу определения стохастического интеграла в форме Ито и леммы о винеровском процессе из предыдущей главы можно записать
.
Сравнивая это выражение с выражением, полученным применением классических методов интегрирования, видим, что они отличаются на величину T/2 за счёт недифференцируемости реализаций винеровского процесса.
При решении прикладных задач обычно рассматривают процессы с гладкими траекториями. Поэтому желательно дать такое определения стохастического интеграла, свойства которого совпадали бы со свойствами классических интегралов Римана. Таким определением является определение интеграла в форме Стратановича.
Стохастический интеграл в форме Стратановича
Интегральную сумму стохастического интеграла (6.1) определим в симметризованном виде
. (6.2)
Если при 0 существует предел в среднем квадратическом
,
то он называется стохастическим интегралом в форме Стратановича.
Символ S перед интегралом отражает тот факт, что рассматривается стохастический интеграл в симметризованном виде, то есть в форме Стратановича.
Интегралы Ито и Стратановича достаточно просто связаны между собой.
Связь интегралов Ито и Стратановича
Рассмотрим связь стохастических интегралов в форме Ито и в форме Стратановича.
Пусть подынтегральная функция (x,t) дифференцируема по первому аргументу. Тогда, разлагая её в ряд Тейлора в окрестности точки (ti), получим
.
Подставляя это разложение (6.2), получим
.
В силу замечания о произвольном диффузионном процессе из предыдущей главы, последнее равенство можно переписать в виде
.
(6.3)
Для стохастических интегралов, определённых по винеровскому процессу, это равенство запишем в виде
.
(6.4)
Рассмотрим стохастический интеграл в форме Стратановича
.
То есть результаты интегрирования по Стратановичу совпадают с результатами интегрирования по Риману.
Из равенств (6.3) и (6.4) следует, что если подынтегральная функция (,t) не зависит от , то интегралы в форме Ито и Стратановича совпадают.
При рассмотрении прикладных задач обычно применяют интеграл Стратановича, а в теоретических исследованиях применяют интеграл Ито, затем, используя равенства (6.3) и (6.4) вновь возвращаются к интегралам в симметризованном виде.
Применение интегралов Ито в теоретических исследованиях оправдано его некоторыми полезными свойствами, которые более подробно будут рассмотрены в следующей главе.