Глава 7. Стохастические дифференциальные уравнения Определение стохастических дифференциальных уравнений. Свойства их решений

Многие реальные процессы определяются дифференциальными уравнениями вида

или в форме дифференциалов

. (7.1)

Если (t)=w(t) – винеровский процесс, то уравнение (7.1) называется стохастическим дифференциальным уравнением. В этом случай уравнение (7.1) будем записывать в виде

. (7.2)

В силу недифференцируемости винеровского процесса, необходимо определить в каком смысле следует понимать уравнение (7.2).Это равенство будем понимать как форму записи интегрального уравнения

, (7.3)

где первый интеграл является интегралом в среднем квадратическом, а второй – стохастическим интегралом в форме Ито.

Покажем, что решение (t) стохастического дифференциального уравнения (7.2) является диффузионным случайным процессом.

Действительно, из (7.3) следует, что распределение вероятностей значений сечения (t) при t>t₀ зависит лишь от значения (t₀) и не зависит от значений рассматриваемого процесса для моментов времени s>t₀, следовательно, процесс (t) марковский.

Дифференциальное уравнение(7.2) запишем в конечных разностях

.

Важно заметить, что случайные величины (t) и w(t)=w(t+t)–w(t) стохастически независимы.

Проверим для процесса (t) выполнение свойств диффузионного процесса.

Очевидно, что условное распределение приращения (t)=(t+t)–(t), при условии, что (t)=x является гауссовским с математическим ожиданием и дисперсией вида

, (7.4)

. (7.5)

Далее покажем, что

,

где

.

Нетрудно показать, что рассматриваемые пределы равны нулю. Выполнение остальных свойств, очевидно, следует из равенств (7.4) и (7.5).

Таким образом, решение (t) стохастического дифференциального уравнения (7.2) является диффузионным случайным процессом с коэффициентом переноса – a(x,t), и коэффициентом диффузии – b(x,t)=²(x,t). Очевидно, что эти коэффициенты диффузионного процесса однозначно определяются коэффициентами стохастического дифференциального уравнения.

Знание коэффициентов переноса и диффузии позволяет записать уравнение Фоккера-Планка для переходной плотности распределения вероятностей, которая однозначно определяет функционирование диффузионного случайного процесса (t).

Приведём примеры наиболее часто применяемых стохастических дифференциальных уравнений.

1) Арифметическое броуновское движение

.

2) Геометрическое броуновское движение. Модель Самуэльсона

.

3) Диффузионный процесс авторегрессии

.

4) Процесс, возвращающийся к среднему как квадратный корень (Mean Reverting Square Root, MRSR-процесс)

.

5) Процесс Орнштейна-Уленбека

.

6) Броуновский мост

.

Формула дифференцирования Ито

Пусть (t) – диффузионный процесс с коэффициентами переноса a(x,t) и диффузии ²(x,t), тогда этот процесс является решением стохастического дифференциального уравнения (7.2)

.

Пусть f(x,t) – непрерывная детерминированная функция такая, что для неё существуют непрерывные производные

.

Рассмотрим случайный процесс

. (7.6)

Ито показал, что этот случайный процесс является диффузионным. Найдём дифференциал этого диффузионного процесса

,

то есть

. (7.7)

Из равенства (7.6) процесс (t) выразим через (t) и t и это выражение подставим в (7.7), получим коэффициенты переноса и диффузии для диффузионного случайного процесса (t), а равенство (7.7) запишем в виде

, (7.8)

где функции и имеют вид выражений

,

,

в которых  в силу равенства (7.6) выражена через  и t.

Равенства (7.7) и (7.8) будем называть формулами дифференцирования Ито.

Формулы дифференцирования Ито находят широкое применение для решения стохастических дифференциальных уравнений.