Тема9. Изучение тренда. Метод аналитического выравнивания.

1. Теоретическая база.

Для выполнения данной работы студент должен владеть теоретическим материалом по теории тренда и методах его изучения. В качестве базового учебника по данной теме рекомендуется[5](стр. 168 - 187).

2.Основы теории, термины, определения, основные расчетные формулы, примеры решения задач. В данном пособии методы укрупнения интервалов и скользящей средней не рассматриваются, учитывая их достаточную простоту. Основное внимание здесь уделяется методу аналитического выравнивания.

Метод аналитического выравнивания.

Метод аналитического выравнивания используется для получения обобщающих характеристик тренда, т.е. его оценки. В основу метода положено, что основная тенденция развития у является функцией времени, т.е. y_ti; = f(ti;).

Определение теоретических уровней y_ti производится на основе адекватной математической функции, которая наиболее точно отражает тренд. Поэтому самая важная задача в использовании метода заключается именно в подборе математической функции, которая обеспечила бы минимальность отклонений теоретических y_ti I и эмпирических уровней уi, то есть

∑(y_ti – уi)² = min (9.1)

Различают следующие эталонные типы тренда:

1.Равномерное развитие. Для этого типа характерны постоянные абсолютные приросты

ΔYц ≈ const (9. 2)

Для этого типа тренд отображается уравнением прямолинейной функции :

_

Уt_;=а_o+а₁t, (9.3)

где: а_o и а₁ - параметры уравнения,

t - обозначение времени.

2.Равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Для этого типа динамики характерны постоянные темпы прироста, то есть:

Т_пц ≈ const (9. 4)

В этом случае тренд отображается функцией параболы второго порядка

_

Уt = a_o+a₁t+a₂t², (9.5)

где а₂ - отражает изменение интенсивного развития.

3.Развитие с переменным ускорением (замедлением). Для этого типа динамики тренд отображается уравнением параболы третьего порядка.

_

Уt =a_o +a₁t + a₂t² +a₃ t³ (9.6)

при а₃ > 0 ускорение вырастает, при а₃ < 0 ускорение замедляется.

4.Развитие по экспоненте. Для этого типа характерны стабильные темпы роста:

Т_рц ≈ const (9.7)

Отображается показательной функцией:

_

Уt = a_o + a₁^t (9,8)

где а1 - темп роста (снижение) изучаемого явления в единицах времени.

5.Развитие с замедлением роста в конце периода. Для этого типа характерно снижение цепного абсолютного прироста в конечных уровнях динамики, т. е.

ΔYцп → 0 (9.9)

В этом случае тренд отображается уравнением полулогарифмической функции:

_

Уt =a_о+a₁1gt, (9.10)

Практическое применение аналитического выравнивания разберём на следующем примере.

Имеются следующие данные об объёмах реализации продукции «А» в период с 1992 по 1996 гг.

Год	Объем реализации, млн. руб.	Темп роста, %	Абсолютный прирост, млн. руб.
1997	8,6	-	-
1998	9,7	112.7	1,1
1999	10,6	109,2	0,9
2000	11,5	108,4	0,9
2001	12,4	107,8	0,9

Из данных следует, что темпы роста реализации затухают, а абсолютные приросты достаточно стабильны. Последнее обстоятельство дает основание считать, что данный ряд динамики характеризуется равномерным развитием (см. (9. 2)), поэтому данному типу

_

тренда соответствует функция (9.3 ): Уt_;=а_o+а_it

Для расчета параметров функции аo и ai составим систему нормальных уравнений

na_o + a₁∑t = ∑y

a_o∑t + a₁∑t2 = ∑t * y (9.11)

тогда применяя способ определений, получаем значение и а_o = а_i.

∑y∑t² - ∑ty∑t

a_o = ------------------- (9.12)

n ∑t² - ∑t * ∑t

n∑ty - ∑t∑y

a₁ = ------------------- (9.13)

n ∑t² - ∑t * ∑t

Применительно к формулам (9.12), (9.13) составляется матрица расчётных показателей:

Год	Объем реализации у	ti	ti^2	tiyi	yi
1	2	3	4	5	6
1997	8,6	1	1	8,6	8,63
1998	9,7	2	4	19,4	9,62
1999	10,6	3	9	31.8	10,5
2000	11,5	4	16	46,0	11,5
2001	12,3	5	25	62,0	12,4
	52,8	15	55	167,8	52,4

Определяем значение параметра по формуле (9.24):

52.8*55 – 167.8*15 2904 - 2517 387

a₁ = ----------------------- = --------------- = ------- = 7.74

5*55 – 15*15 975 - 225 50

По вычисленным параметрам производим синтезирование трендовой модели функции (9.15), тогда

Уt = 7,74 + 0,94*t (9.14)

На основе синтезированной трендовой модели (9.14) производим расчет теоретических уравнений тренда (y_ti) для каждого года анализируемого ряда динамики реализуемого товара М, тогда:

Уt 92 = 7,74 + 0,94*1 = 8,68

Уt 93 = 7,74 + 0,94*2 = 9,62

Уt 94 = 7,74 + 0,94*3 = 10.5

Уt 95 = 7.74 + 0.94*4 = 11.5

Уt 96 = 7,74 + 0,94*5 = 12,4

Занесем вычисленные уровни в графу 6.

Правильность наших расчетов проверим по равенству ∑yi =∑yti .

Расхождение объясняется ошибками в округлении промежуточных результатов. Параметр а1 трендовой модели (9.14) показывает, что объем реализации товара М вырастал в среднем на 0,94 млн. руб. в год.

Практика изучения тренда социально-экономических явлений показывает, что эталонные типы тренда (9.2), (9.4), (9.6), (9.7), (9.9) скорее исключение, чем правило.

Поэтому при анализе динамики социально-экономических явлений, часто невозможно определить к какому эталонному типу относится тренд, так как влияние на динамику различных факторов обуславливает изменение эмпирических уравнений. Все это говорит о том, что при изучении тренда перед исследователем, прежде всего, стоит проблема определения адекватной функции, описывающей тренд. Одним из применяемых в практике изучения показателей адекватности математической функции тренда является стандартизированная ошибка аппроксимации (σy_t)

∑(yti – yi)

σy_t = ------------ (9.15)

√ n

Пример, использования функции (9.15) при определении стандартизированной ошибки аппроксимации в оценке адекватности используемых математических функций.

Условие задачи: имеются следующие данные об объеме реализации продукции М фирмой за период 1992 - 1996 гг.

Год	Объем реализации, млн. руб.	Темп роста по годам, %	Абсолютный прирост, млн. руб.
1	2	3	4
1992	8,6	-	-
1993	9,7	105,8	0.5
1994	10,0	109,8	0,9
1995	10.5	105,0	0,5
1996	11,3	107,6	0.8
В среднем	9,9	107	0,67

По исходным данным требуется произвести синтезирование трендовой модели реализации товара М, для чего оценить адекватность выбранной модели по минимальности стандартизированной ошибки аппроксимации ( oy_t)

Анализируя динамику реализации товара А за 5 лет можно сделать вывод о разнохарактерности темпов роста и нестабильности абсолютных приростов. Это в значительной мере усложняет подбор математической функции, адекватно отражающей трендовую модель. Здесь можно использовать следующие уравнения: прямолинейной функции (9.3), показательной функции (9.20), параболы второго порядка (9.5), параболы третьего порядка (9.6). Для определения параметров математических функций при анализе тренда используем способ отсчета времени от условного начала когда ∑t = 0. В этом случае параметры математических функций определяются по формулам: _

а) для прямолинейной функции (9.3) y_t = a_o + a₁t. (при ∑t = 0);

∑y

а_о = ------ (9.16)

n

∑t * y

а1 = ---------- (9.17)

∑t² _

б) для показательно функции (9.8) y_t = a_o + a₁^t, (при ∑t = 0)

∑lgy

lgа_о = ------ (9.18)

n

∑t * lgy

lgа1 = ---------- (9.19)

∑t²

в) для параболы второго порядка (9.5) y_t =a_o+a_lt + a₂t², (при ∑t = 0);

∑t⁴ * ∑y - ∑t² * ∑t^2y

а_о = -------------------------- (9.20)

n∑t⁴ - ∑t² * ∑t²

∑t * y

а₁ = ---------- (9.21)

∑t²

n∑t²y - ∑t² * ∑y

а₂ = -------------------------- (9.22)

n∑t⁴ - ∑t² * ∑t²

г) где параболы третьего порядка (9.18) у, =а_о+а t + a₂t² + a₃t³, (при ∑t = 0)

∑t⁴ * ∑y - ∑t² * ∑t² y

а_о = -------------------------- (9.23)

n∑t⁴ - ∑t² * ∑t²

∑t * ∑ty - ∑t⁴ * ∑t³ y

а₁ = -------------------------- (9.24)

∑t² * ∑t⁶ + ∑t⁴* ∑t⁴

n∑t²y - ∑t² * ∑y

а₂ = -------------------------- (9.25)

n∑t⁴ - ∑t² * ∑t²

∑t² * ∑t³y - ∑t⁴ * ∑t y

а₃ = -------------------------- (9.26)

∑t² * ∑t⁶ + ∑t⁴* ∑t⁴

Для анализа ряда динамики (таблица 3) по функциям (9.3), (9.8), (9.5), (9.6) для определения параметров функций а_o - а₃ составляем матрицу вида :

Матрица определения параметров математических функций при

∑t= 0,:

Год	Условные обозначения						yi	tiyi	ti^2yi	ti^3yi	1gyi	tilgyi
	ti^1	ti^2	ti^3	ti^4	ti^5	ti,^6
1997	-2	4	-8	16	-32	64	8,6	-17,2	34,4	-68,8	0,93449	-1,86898
1998	-1	1	-1	1	-1	1	9,1	-9,1	9,1	-9,1	0,95904	-0,95904
1999	0	0	0	0	0	0	10,0	0	0	0	1,0000	0
2000	1	1	1	1	1	1	10,5	10,5	10,5	10,5	1,02118	1,02118
2001	2	4	8	16	32	64	11,3	22,6	45,2	90,4	1,05307	2,10614
	0	10	0	34	0	130	49,5	6,8	99,2	23,0	4,96778	0,29930

По итоговым данным определяем последовательно параметр функций (9.3), (9.8), (9.5), (9.6), синтезируем трендовые модели и определяем теоретические значения уровней тренда в млн. руб.

_

1. Для функций (9.3) Yt = а_o + a₁t,

49.5

1.1 по формуле (9.16) параметр а_o = —— = 9,9

5

∑ty 6.8

1.2 по формуле (9.17) параметр а₁ = ------ = ---------- = 0,68

∑t² 10

1.3 синтезируем трендовую модель по функции (9.3)

Yt = 9.9 + 0.68t (9.27)

1.4 Определяем теоретически уровни тренда:

Yt 97= 9,9 + 0,68* (-2) = 8,54

Yt 98 = 9,9 + 0,68 *(-l) = 9,22

Yt 99 = 9,9 + 0,68 *(0) = 9,9

Yt 00 = 9,9 + 0,68 *(1) = 10,58

Yt 01 = 9,9+ 0,68* (2) = 11,26

Вычисленные теоретические уровни трендовой модели по функции (9.3) заносим в графу 4 итоговой таблицы. _

2. Аналогично исследуем показательную функцию (9.8 ) Yt = а_o*а₁^t

4.967778

2.1 по формуле (9.18) lgta_o = ------------ = 0,99355

5

0.29930

2.2 По формуле (9.19) lga₁ = ----------- = 0,02993

10

2.3 На основе вычисленных параметров синтезируем трендовую модель функции (9.8):

_

lgy_t = 0,9935 + e*0,02993 (9.28)

2.4 По модели (9.28) определяем теоретические уровни для каждого ряда динамики.

Для 1997 г.:

_

Igy_t = 0,9935 = (-2) * 0,02993 =

для 1998 г.

Igy_t = 0,9935 + (-1) * 0,02993 =

и т. д.

Студенту предлагается самостоятельно синтезировать трендовые модели по функциям (9.8), (9.5), (9.6) и определить значения теоретических уровней по синтезированным моделям.

Результаты расчётов сводятся в матрицу определения стандартизированной ошибки аппроксимации по функциям (9.3), (9.8), (9.5), (9.6).

Год	ti	yi	Теоретические уровни по моделям				Отклонения теоретических уровней от фактических уровней
			По Форму лее (9.15)	По формуле (9.20)	По формуле (9.17)	По формуле (9.18)	Функции (9.15)		Функции (9.20)		Функции (9.17)		Функции (9.18)
							yti-yi	yti-yi	Yti-yi	yt i-y0	yti-Yi	Yti-Yi	Yti-Yi	Yti-Yi
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1997	-2	8,6	8,59				-0,06	0,0
1998	-1	9,1	9,2				0.1	0,36
1999	0	10,0	9,9				-0.1	0,01
2000	1	10,5	10,6				0.1	0,01
2001	2	11,3						0,01

Формирование матрицы показано на примере функции(9.3): В графу 4 переписываются значения теоретических уровней из 1.4. Определяется итог по графе 4 равной 49,5;

В графе 8 определяется отклонение теоретических уровней от фактических, то есть y_ti-yi. Значения этих отклонений будут по 1992 году - 0,06, 93-0,1 и т.д. (см. табл.);

В графе 9 определяется квадрат отклонений значений теоретических уровней от фактических, а в итоге графы определяется сумма квадратов отклонений ∑(yti – yi)² это значение для графы 9 будет равно 0,0356.

По итоговым данным матрицы (графы 9, 14, 13, 15) определяется стандартизированная ошибка аппроксимации по формуле (9.15).

Так для формулы (9.3)ошибка аппроксимации:

∑(yti – yi)² 0,0356

σy_t = ------------ = ----------- = 0,084 млн.руб.

√ n √ 5

Адекватность трендовой модели оценивается как σy_t —> min.

Студенту предлагается самостоятельно определить наиболее адекватную трендовую модель для динамики объема реализации по табл. 3. На основе вышеизложенных рекомендаций.

3. Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Данные объемов реализации продукции по предприятию за 1998 -2001 гг. (млн. руб. в сопоставимых ценах.)

Квартал	1998	1999	2000	2001
1	120,4	125,4	130,2	134,6
2	121,0	123,2	128,0	130,0
3	123,4	124,3	126,0	129,0
4	126,9	131,0	135,4	136,2

По исходным данным определите тренд объемов реализации продукции используя метод скользящей средней. Отобразите сложившуюся ситуацию графически (по оси х - периоды, по оси у - уровни, эмпирические, сглаженные, центрированные). Дайте характеристику основной тенденции развитие объемов реализации за 4 года.

Задача 2. Имеются следующие данные об объеме продаж фирмы за 6 лет в сопоставимых ценах (млн, руб.).

Год	Объем продаж (млн.руб.)	Абс. прирост (млн.руб.)	Темп роста %
1996	50,3
1997	51,0
1998	52,3
1999	52,9
2000	53,4
2001	54,1

Исходя из данных об объеме продаж необходимо:

1.Рассчитать и заполнить показатели гр. 3, 4.

2.Используя уравнение прямолинейной функции у_т. Рассчитать параметры функции, произвести синтезирование трендовой модели, определить теоретические уровни тренда.

вам необходимо:

1.Дозаполнить гр. З, 4 в таблице.

2.Произвести синтезирование трендовой модели товарооборота для чего:

2.1.Выбрать наиболее адекватную математическую функцию из следующих типов: уравнение прямолинейной функции, показательной функции, параболы второго порядка по min ошибке аппроксимации (оу_т).

3.Для определения параметров математических функций при анализе тренда использовать способ отсчета времени от условного начала.

Задача 4. Данные о производстве товаров и услуг предприятием, (в млн. руб.) в сопоставимых ценах с 1998 по 2001 гг.

Год	Объем пр-ва	Темп	Год	Объем пр-ва	Темп
	(млн. руб.)	роста		(млн. руб.)	роста
1998	56,0		1995	38,0
1999	54,0		1996	39,0
2000	40,0		1997	42
2001	39,0		1998	42,3

Поданным о производстве предприятием вам необходимо:

1.Произвести синтезирование трендовой модели-производства товаров и услуг за 1998-2001 гг. на основе математических функций:

а) показательной функции,

б) параболы третьего порядка.

2.Оценить адекватность используемых математических моделей характеру тренда по min ошибки аппроксимации (σy_t).

Для определения параметров математических функций использовать способ отсчета времени от условного начала.

4. Контрольные вопросы:

1. Что такое тренд?

2. Какие факторы оказывают влияние на тренд?

3. Какие существуют методы изучения тренда? В чем их суть?

4. Эталонные типы тренда.

5.Основные этапы алгоритма метода аналитического выравнивания.