- •Розділ II Визначений інтеграл
- •§1. Означення визначеного інтеграла за Коші-Ріманом
- •§2. Необхідна умова існування визначеного інтеграла
- •§3. Властивості визначеного інтеграла
- •Приклад 3.1.
- •Звернемо увагу, що зворотне твердження не завжди вірне. Приклад 3.2. Функція
- •§4. Визначений інтеграл зі змінною верхньою границею
- •Основним наслідком цієї леми є
- •§5. Формула Ньютона-Лейбніца
- •Зокрема, коли одержимо
- •§6 Основні правила визначеного інтегрування
- •Приклад 6.1.
- •§7. Деякі нетипові задачі на означений інтеграл
- •§8. Наближені методи обчислення визначених інтегралів
§3. Властивості визначеного інтеграла
Розглянемо множину функцій з класу . Над ними можливо виконання операцій, результат яких знову належить .
Якщо . Тоді
Ми не будемо зупинятися на доведенні , але важливо відмітити, що пункти вірні не тільки для дійсно-визначених функцій, але і для комплексно-визначених.
Якщо векторні функції, то пункти також справедливі і для них, а операція взагалі кажучи немає місця, а тому пункт для них не розглядається.
Пункти визначають, що є лінійний простір множини функцій, інтегруємих на .
(лінійність інтеграла). Якщо , тоді (лінійна комбінація і ) також інтегруєма на , тобто , причому
(3.1)
Доведення. Розглянемо інтегральну суму для інтеграла, записаного зліва і виконаємо перетворення
(3.2)
Оскільки , то коли права частина останньої рівності прямує до лінійної комбінації інтегралів, що стоять у правій частині рівності (3.1), а тому і ліва частина має границю, коли і ця границя співпадає з границею правої частини.
Таким чином, доведено не тільки (3.1), а також і інтегровність функцій пунктів властивості . Функції, які визначені на множині функцій, називають функціоналами. Отже, інтеграл є лінійним функціоналом на лінійному просторі інтегруємих функцій.
Значення інтеграла залежить як від функції , так і від відрізка . Більш того, як вже відмічалось, з умови слідує , де . Нагадаємо, що розбиття відрізка проведено монотонною послідовністю точок , причому точка співпадає з нижньою границею інтегрування а точка з верхньою границею . Ця конструкція мала на увазі відрізок , тобто . Якщо тепер взяти два довільних числа і , взагалі може бути і більше за , лише вважати, що нижня границя інтегрування а верхня, провести розбиття , одержати інтегральну суму і при цьому вважати , якщо , і , якщо , то буде відрізнятися тільки знаком від інтегральної суми відповідного розбиття відрізка .
Виходячи з цього, якщо , то
(3.3)
а тому
(3.4)
Нехай і функція інтегруєма на найбільшому з відрізків з кінцями у вказаних точках.
Тоді має місце рівність
або, маючи на увазі (3.3),
.
Інакше кажучи, незалежно від того , або має місце рівність
. (3.5)
Якщо по меньшій мірі дві з точок співпадають, то, маючи на увазі (3.4), знову одержимо (3.5). Рівність (3.5) означає, що визначенний інтеграл є адитивна функція проміжку інтегрування, тому що для будь-яких чисел
.
Приклад 3.1.
Використаємо геометричний зміст визначеного інтеграла і одержимо
.
Доведення властивості потребує розгляду двох випадків:
Якщо і для даного розбиття точка є однією з точок , то доведення є елементарним. У випадку, коли точка не є однією з точок , то доведення потребує більших зусіль (побажаємо успіхів у самостійній роботі).
Якщо , то достатньо скористатися формулою (3.3).
Якщо та , то
. (3.6)
Більш того, якщо , , то
. (3.7)
Дійсно, розглянемо функцію . За властивістю маємо і . Тоді
а властивість (3.6) зрозуміло випливає з того, що
.
Якщо , то
. (3.8)
Із п. 3) властивості маємо , а нерівність (3.8) має місце тому, що
.