§8. Наближені методи обчислення визначених інтегралів
При розв'язуванні прикладних задач часто зустрічаються інтеграли від функцій, первісні для яких не є елементарними функціями або сама підінтегральна функція не є елементарною. Більш того, часто, коли підінтегральна функція навіть елементарна, але досить складна, застосовують чисельне інтегрування.
формули для наближеного обчислення інтегралів на відрізку
називають квадратурними.
Коли вимірність інтеграла більше одиниці (подвійні, потрійні інтеграли) формули для наближеного обчислення називають кубатурними.
Коли мова йде про підвищення порядку точності квадратур, під цим розуміють підвищення степені поліномів, для яких квадратури точні. Це питання можна розв'язати за рахунок розбиття відрізку інтегрування на частини або зробити таку підстановку, в результаті якої одержимо інтеграл від функції більш гладкої.
Означення
1.
Нехай
обмежена
функція, визначена на відрізку
.
Вираз
називається
квадратурною формулою, точки
вузлами,
ваговими
коефіцієнтами. Різницю
називають похибкою квадратурної формули.
Кажуть,
що квадратурна формула з
вузлами точна для многочлена степеня
,
якщо наближена рівність
стає точною для будь-якого многочлена степеня .
Розглянемо найпростіші квадратурні формули.
Формула
лівих прямокутників
(
один вузол)
з
похибкою для
;
Формула правих прямокутників ( один вузол)
з похибкою для
;
Формула середніх прямокутників ( один вузол)
з
похибкою для
.
Коли
вузли рівновіддалені і
,
то формули, одержані за допомогою
інтегрування інтерполяційного многочлена,
мають назву квадратурних формул
Ньютона-Котеса. Наведемо найпростіші
з них.
Формула
трапецій
(
два вузла)
з
похибкою на класі
Формула Сімпсона (парабол, три вузла)
з
похибкою на класі
.
Символом
позначають клас функцій, які мають
неперервні на
похідні порядку
.
Зупинимось
на важливому питанні
інтерполяції. Нехай в дискретні моменти
часу
маємо значення функції
.
Потрібно знайти значення функції
для інших
.
Для цього шукають функцію
у вигляді
де
параметри
визначаються за умовами
,
,
називають
вузлами інтерполяції, а спосіб наближення
інтерполяцією.
Коли точка
,
в якій обчислюється значення
,
лежить зовні відрізку, якому належать
точки
,
то поряд з терміном „інтерполяція”
застосовують термін „екстраполяція”.
Часто застосовують інтерполяцію многочленами, іноді тригонометричними функціями або дробово-раціональними функціями вигляду
Аналіз
похибок наведених формул показує, що
формула прямокутників точна для
многочленів нульового степеня, формули
середніх прямокутників і трапецій точні
для многочленів першого степеня, а
формула Сімпсона
для многочленів третього степеня.
Відомо, що коли задача має симетрію, то
метод з симетрією того ж типу має
додаткові переваги. Так формула
Ньютона-Котеса з
вузлами точна для многочленів
степеня, якщо
парне число, і для многочленів
го
степеня, якщо
непарне.
У
зв'язку з вищим виникає задача пошуку
серед усіх квадратурних формул із
вузлами квадратурної формули з таким
розміщенням вузлів і з такими коефіцієнтами
,
для яких формула була б точною для
многочлена максимального степеня. Такі
квадратурні формули називають формулами
Гаусса
і доведено, що квадратурні формули
Гаусса з
вузлами точні для многочленів не вище
го
степеня.
Вузли і вагові коефіцієнти формули Гаусса можна знайти як розв'язок системи рівнянь
відносно
невідомих
.
Коли зростає, то зростають труднощі розв’язку цієї системи.
Наведемо
таблицю коефіцієнтів
і значень вузлів
для стандартного проміжку
.
|
|
0.57735 02691 89626
0. 00000 00000 00000 0. 77459 66692 41483
0.33998 10435 84856 0.86113 63115 94053
0. 00000 00000 00000 0.53846 93101 05683 0.90617 98459 38664
0.23861 91860 83197 0.66120 93864 66265 0.93246 95142 03152
0. 00000 00000 00000 0.40584 51513 77397 0.74153 11855 99394 0.94910 79123 42759 |
1.00000 00000 00000
0.88888 88888 88889 0.55555 55555 55556
0.65214 51548 52546 0.34785 48451 37454
0.56888 88888 88889 0.47862 86704 99366 0.23692 68850 56189
0.46791 39345 72691 0.36076 15730 48139 0. 17132 44923 79170
0.41795 91836 73469 0.38183 00505 05119 0.27970 53914 89277 0.12948 49661 68870 |
Деякі незручності формули Гаусса пов'язані з ірраціональністю вузлів і коефіцієнтів. У таблиці вони подані з п’ятнадцятьма десятковими знаками. Однак цей недолік компенсується високою точністю формул. У випадку довільного проміжку квадратурна формула Гаусса приймає вигляд
а
значення
беруть із наведеної таблиці.
Якщо
проміжок інтегрування досить великий,
то доцільно його розбити на
рівних частин точками поділу
.
Формула
середніх прямокутників.
Якщо функція
,
то
,
де
або
Формула трапецій. Якщо функція ,
,
де
або
.
Формула
Сімпсона.
Якщо функція
і
,
де
.
Аналогічно будуються і складові формули Гаусса.
Центральною проблемою алгоритму є оцінка його похибки. Остання пов’язана з дослідженням похідних.
Якщо відомий аналітичний вираз інтегруємої функції, то можна, виходячи з оцінки похибки наближених формул, визначити необхідне число поділу інтервалу інтегрування, яке забезпечить задану точність. У багатьох випадках аналітичний вираз інтегруємої функції такий, що важко знайти найбільше на проміжку інтегрування значення для похідних відповідного порядку, які містяться у формулах похибок наближеного обчислення інтегралів. А тому при обчисленні інтеграла (7.1) застосовують інші критерії для оцінки похибки.
На
практиці, як правило, застосовують
принцип Рунге, який базується на
подвійному перерахунку інтеграла. Якщо
для обчислення інтеграла (7.1) застосовується
одна із квадратурних формул з кроком
(число вузлів
)
і відомий порядок
точності формули по відношенню до кроку
(так, наприклад, для формули середніх
прямокутників і трапецій
,
для формули Сімпсона
),
то позначимо через
наближене значення інтеграла, отримане
за цією формулою, а через
з
кроком у 2 рази меншим (число вузлів
)
. Тоді
.
Для
досягнення заданої точності
вибирають деякий крок
,
тим самим фіксують число вузлів,
обчислюють за квадратурною формулою
інтеграл (одержують
),
а потім процедуру повторюють з кроком
до тих пір, поки не виконається умова
.
Після досягнення її покладають
.
Відмітимо, що чисельна реалізація будь якого–методу − важливий етап розв’язання задачі. При побудові алгоритму слід особливу увагу приділяти такій організації обчислень, що приводить до зменшення обчислювальної роботи, тому що, крім похибки метода, не менше впливає на точність результатів і похибки, які накопичуються в результаті округлень.