- •Розділ II Визначений інтеграл
- •§1. Означення визначеного інтеграла за Коші-Ріманом
- •§2. Необхідна умова існування визначеного інтеграла
- •§3. Властивості визначеного інтеграла
- •Приклад 3.1.
- •Звернемо увагу, що зворотне твердження не завжди вірне. Приклад 3.2. Функція
- •§4. Визначений інтеграл зі змінною верхньою границею
- •Основним наслідком цієї леми є
- •§5. Формула Ньютона-Лейбніца
- •Зокрема, коли одержимо
- •§6 Основні правила визначеного інтегрування
- •Приклад 6.1.
- •§7. Деякі нетипові задачі на означений інтеграл
- •§8. Наближені методи обчислення визначених інтегралів
§7. Деякі нетипові задачі на означений інтеграл
Приклад 7.1. Обчислити
.
Розв'язання. Функція має період , а тому за властивістю періодичної функції і з урахуванням формули , маємо
Приклад 7.2 Обчислити
.
Розв'язання. Оскільки
то
Приклад 7.3. Обчислити
.
Розв'язання. Функція неперервна на , більш того, додатна. Можна оцінити інтеграл зверху і знизу, оскільки
,
а тому
.
Для обчислення інтеграла такого типу, з урахуванням зауваження , рекомендована підстановка , в результаті якої нижня і верхня границі дорівнюють нулю . Дослідження цього „парадоксу” показує, що на проміжку функція розривна і ми не мали права застосувати цю підстановку.
Підемо іншим шляхом. Функція періодична (період , тому що ), а тому за властивістю інтеграла від періодичної і парної функції маємо:
Для обчислення останнього інтеграла рекомендуємо універсальну тригонометричну підстановку (а не ). На відрізку функція має неперервну похідну.
Отже, шуканий інтеграл дорівнює . Неважко перевірити, що .
Приклад 7.4. Обчислити
.
Розв'язання. Ми не будемо коментувати викладки, як у попередньому інтегралі, а приведемо результати обчислень:
Якщо позначити через , то . Отже,
.
Приклад 7.5. Обчислити інтеграл
в залежності від і побудувати графік функції .
Розв'язання. Зрозуміло, що
а тому
Графік функції має вигляд
Приклад 7.6. Знайти, при якому значені інтеграл приймає найменше значення, фіксоване число.
Розв'язання. Графіком функції на площині є сукупність двох променів, що проведені в півплощині із точки з координатами один під кутом до додатного напряму осі абсцис, другий під кутом (рис. 2, випадки 1)-3))
1)
2)
3) Рис.
2
Інтеграл геометрично виражає площу криволінійної трапеції, що зверху обмежена графіком , прямою зліва, а справа − прямою .
Якщо або (рис. 21)) то такою фігурою є трапеція. Якщо попадає на кінець відрізка ( або , рис. 22)), то трапеція виродиться в рівнобедрений трикутник, для якого відрізок катет. Зрозуміло, що площа трапеції максимуму не має і буде найменшою, коли трапеція виродиться в трикутник. У цьому випадку площа фігури дорівнює .
Нехай тепер (рис. 23)). У цьому випадку фігура є об’єднання двох прямокутних трикутників з катетами та . Сумарна їх площа дорівнює , тобто функція , для якої потрібно знайти мінімум, дорівнює
.
Оскільки одержали квадратний тричлен, то відомо, що коли , то одержимо мінімальне значення
.
Дійсно, в цьому випадку
Отже, найменше значення буде, коли і при цьому значення інтеграла дорівнює .
Приклад 7.7. Якщо функції та дорівнюють нулю, коли , то функція аргументу , визначена через інтеграл зі змінною верхньою границею
називається згорткою функцій і , її позначають . При цьому , як неважко перевірити, .
Позначимо через функцію виду
Потрібно:
а) обчислити інтеграл за формулою (7.1), якщо . Зобразити графік функції .
б) обчислити інтеграл за формулою (7.1), якщо . Зобразити графік функції .
Розв'язання.
а) підінтегральна функція відмінна від нуля, коли
(дивись рис.3)
Зрозуміло, що або . За формулою (7.1) маємо:
Рис. 3
Графік зображено на рис.4
б) як і вище, зобразимо на площині множину точок, в яких підінтегральна функція відмінна від нуля (рис. 5):
Рис. 5
Зрозуміло, що функція , визначена за формулою (7.1), дорівнює нулю, коли або і
Графік функції зображено на рис.6.
Рис. 6
Приклад 7.8. Довести, що
Розв'язання. Сума
Рис. 7
є сума площ всіх прямокутників, показаних на рис. 7, тобто площа ступінчатої фігури. Ця площа строго більша за площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції , для якої , що і потрібно було довести.
Цю нерівність можна довести і іншими методами, наприклад, за методом математичної індукції.
Дійсно, коли , то .
Нехай тепер нерівність вірна, коли , тобто
.
Доведемо нерівність для . Потрібно довести, що
Покажемо, що для будь-якого виконується нерівність , або
.
Останню нерівність неважко довести, якщо розглянути функцію
і врахувати, що , а , коли , тобто спадає. Тому .
Таким чином, для будь-якого
.
Тим самим доведено, що послідовність не має границі, коли . Більш того, оскільки , коли , то
Приклад 7.9. Знайти границю
Розв'язання. Розглянемо функцію , неперервну, коли . Вираз можна трактувати як інтегральну суму за Коші для функції на відрізку , де , а тому
.
Приклад 7.10 Знайти границю
.
Розв'язання. Перетворимо вираз наступним чином
Прологарифмуємо
.
Розглянемо функцію . Вона неперервна на цьому інтервалі, але необмежена. Формально праву частину (7.2) можна розглядати як інтегральну суму за Коші для функції , де . У формулі інтегрування частинами зазначалось, що інтеграл існує, якщо існує . А тому
.
Отже,
.