4. Упругие материалы

4.1. Введение. Определения

Концепция упругих твердых материалов представляет собой модель поведения многочисленных реальных веществ. Некоторые из них близки к модели, например сталь или камни. Поведение других материалов не столь строго отвечает идеализи­рованной модели, но в определенном приближении и они могут рассматриваться как упругие материалы, например дерево, резина, бетон.

В предыдущих частях книги неоднократно подчеркивалось, что любой материал в зависимости от конкретных условий деформирования ведет себя подобно жидко­сти или твердому телу, что определяется числом Деборы — отношением характер­ных шкал внутреннего времени и времени наблюдения. Это относится и к материа­лам, упомянутым выше: один и тот же материал ведет себя как жидкость или как твердое тело в зависимости от временной шкалы эксперимента. Характерен пример стали. Никто не сомневается, что сталь — это упругий твердый материал. Но во мно­гих технологических операциях (при прокатке, волочении, штамповке) сталь течет, то есть в ней создаются необратимые деформации. Возможность течения твердых материалов описывается термином пластичность. Поэтому концепция упругого ма­териала (тела) относится, скорее, к представлению о поведении материала, нежели о самом материале. Тем не менее эта концепция важна как представление о предель­ном случае реологического поведения реальных твердых тел — упругих материалов.

Еще один важный аспект интереса реологии к упругости твердых материалов связан с тем, что существует огромное множество упругих жидкостей, для которых важно общее понимание упругости, переносимое из анализа поведения твердых уп­ругих материалов. Количественная характеристика упругого поведения должна включаться в общее описание реологических свойств таких жидкостей, как распла­вы и растворы полимеров, эмульсии и многие коллоидные системы. В этом отноше­нии также важно рассмотреть «чистый» случай — упругость твердых материалов как модель, которая может использоваться при построении конститутивных уравнений любых материалов. Именно поэтому важно включить основные концепции и экспе­риментальные факты в общую структуру реологии. Если же трактовать реологию как науку, интересующуюся преимущественно жидкостями, то настоящую главу книги следует рассматривать как некоторое необходимое дополнение.

4. Упругие материалы 285

Центральное положение, относящееся к твердым телам, состоит в их способно­сти к упругим (обратимым) деформациям. Это означает, что твердые материалы при их деформировании запасают энергию, производимую работой внешних сил, в фор­ме упругой энергии и отдают ее после снятия этих сил.

И еще одно соображение важно для понимания реологического поведения твер­дых тел. Это материалы, для которых существует однозначное соответствие между напряжениями и деформациями, то есть если поле напряжений известно, то тем са­мым определено и поле деформаций, и наоборот. При этом важно подчеркнуть от­сутствие временных эффектов. Если временные эффекты присутствуют (в поле по­стоянных напряжений), то это свидетельствует о вязких (диссипативных) потерях, накладывающихся на упругие деформации. Такой материал ведет себя как вязкоуп-ругое тело (см. главу 2).

При формулировке реологической модели поведения упругих материалов (то есть конститутивного уравнения) необходимо представить экспериментальные дан­ные, получаемые в простых условиях нагружения, в инвариантной форме. Такая формулировка подразумевает независимость от выбора координатной системы. Наиболее общей формой представления реологического состояния в инвариантной форме является выражение для упругого потенциала (запасенной энергии) IV как функции инвариантов тензоров деформации и напряжения. Альтернативная форма реологического уравнения состояния представляет собой связь между инварианта­ми тензоров напряжения и деформации. Оба подхода вполне эквивалентны.

Использование концепции упругого потенциала может быть переформулирова­но с тем, чтобы ввести в рассмотрение напряжения и деформации. Эта способ записи основан на общем выражении для совершаемой работы, которое имеет вид:

Отсюда получается следующая очевидная формула для компонент напряжений, выраженных через упругий потенциал:

Если IV как функция деформаций известна, то компоненты тензора напряжений просто определяются по формуле (4.2).

Также важно располагать методом перехода от соотношения между напряже­ниями и деформациями, записанного в инвариантной форме, к упругому потенциа­лу. В общем случае соответствующее выражение имеет вид:

где е₁ Е₂ и Е₃ — инварианты тензора больших деформаций, которые обсуждались в разделе 1.2.

Тогда, на основании правила дифференцирования функций, получается сле­дующая формула:

Последнее уравнение дает ответ на сформулированную выше задачу. Так, если функция W(Е₁, Е₂, Е₃) известна, то компоненты тензора напряжений находятся по формуле (4.4).

Записанные выше соотношения и уравнения справедливы для любого упругого материала, безотносительно конкретной формы упругого потенциала, представляе­мого уравнением (4.3).