4.2. Линейные упругие (гуковские) материалы

Базовая концепция и уравнение для гуковского упругого материала неоднократно упоминались в предыдущих главах книги (см. например уравнение (2.2)). Эта кон­цепция адекватно описывает многочисленные экспериментальные данные, получае­мые при испытаниях реальных материалов с двумя существенными ограничениями:

• исходное уравнение записывается для одномерной деформации (растяже­ния);

• исходное уравнение справедливо для области малых деформаций.

Таким образом, необходимо сформулировать закон Гука в обобщенной (инвари­антной) форме. В настоящей главе эта задача решается для области малых (беско­нечно малых) деформаций.

Закон Гука для растяжения записывается как

.Прежде всего, необходимо прояснить, почему некорректно обобщить закон Гука простым добавлением индексов к величинам, входящим в уравнение (4.5), то есть почему нельзя принять следующую формулировку:

Эта запись, безусловно, корректна для одноосного растяжения, когда ij= 1 1. Но эксперимент показывает, что при одноосном растяжении поперечное сечение растя­гиваемого образца уменьшается, что отражается коэффициентом Пуассона ц. Этот экспериментальный факт означает, что компоненты тензора деформаций е₂₂ и 8₃₃ не равны нулю, в то время как внешние силы в направлениях, нормальных к оси 1, то есть в направлениях 2 и 3, отсутствуют, то есть а₂₂ и а₃₃ равны нулю. Этот факт непо-4. Упругие материалы 287

средственно доказывает, что способ обобщения закона Гука, предлагаемый записан­ным выше уравнением, некорректен.

Кроме того, эксперименты, выполняемые при простом сдвиге, показывают, что между касательным напряжением и деформацией сдвига существует линейная зави­симость:

То же самое имеет место при всестороннем (гидростатическом) сжатии:

где о — напряжение сдвига; у — величина сдвига; е„ — объемная относительная де­формация; С и В — коэффициенты пропорциональности, имеющие следующий смысл:

С — модуль упругости при сдвиге (сдвиговый модуль);

В — объемный модуль сжимаемости,

причем существенно, что обе эти величины не равны модулю Юнга.

Таким образом, необходимо понять, являются ли все введенные константы (Е, С, ц. и Б) независимыми или нет, и каково минимальное количество констант, необхо­димое для полного описания механического поведения материала при любом виде напряженного состояния, например при двухосном растяжении. В свете обсуждае­мой проблемы возникает вопрос, надо ли и для этого случая вводить отдельную ве­личину «модуля».

Таким образом, необходимо ответить на следующие вопросы:

— как сформулировать обобщенное уравнение состояния для материала, кото­рый проявляет линейные свойства при различных формах напряженного со­стояния;

— какое минимальное количество независимых параметров («модулей» необхо­димо ввести, чтобы описать поведение материала при любых видах напряжен­ного состояния материала.

Выше было показано, что прямолинейная попытка обобщения уравнения Гука для линейного упругого материала, очевидно, приводит к ложным результатам, и тем самым она несостоятельна. Поэтому необходимо искать другие формы обобще­ния уравнения Гука.

Основная идея, используемая при таком обобщении, состоит в том, что при од­ноосном растяжении измеряется не только форма, но и объем образца, и это — два независимых феномена, так что оба эффекта должны быть отражены при построе­нии конститутивного уравнения в виде независимых соотношений. Тогда необхо­димо использовать, по крайней мере, две независимых константы для представле­ния поведения материала — одна для изменения формы, другая — объема. Этот подход немедленно ассоциируется с идеей разделения тензоров напряжения и де­формации на две независимые компоненты — сферическую (изотропную) и девиаторную части.

Примем, что линейные соотношения справедливы отдельно для сферической и девиаторной компонент тензоров напряжений и деформаций. Это предположение дает два независимых соотношения:

где Д — первый инвариант тензора напряжений (сумма нормальных напряжений, представляющая гидростатическое давление); Е^ — первый инвариант тензора де­формаций (мера относительного изменения объема); а ^ — девиаторные компонен­ты тензора напряжений; е|₃ — девиаторные компоненты тензора деформаций; & и С — материальные константы, первая из которых характеризует сопротивление объ­емным деформациям, а вторая — сдвигу.

Гидростатическое давление выражается через первый инвариант тензора напря­жений (уравнение (1.15)) следующим образом:

и отсюда видно, что В = -Ь/3 — это объемный модуль упругости.

Два фундаментальных параметра материала, В и С, называют коэффициентами Ляме.

Физический смысл величины С в уравнении (4.9) очевиден — это сдвиговый мо­дуль, а коэффициент 2 в этом уравнении появляется по формальным соображениям, из-за определения компонент тензора деформаций.

Основное предположение при формулировке обобщенного (трехмерного) зако­на Гука состоит в том, что уравнения (4.8) и (4.9) справедливы при деформациях лю­бого типа, и в этом смысле они представляют собой инвариантное определение ли­нейного упругого (гуковского) материала (тела).

Теперь необходимо связать константы, входящие в уравнения (4.8) и (4.9), с кон­стантами, непосредственно измеряемыми при одноосном растяжении, а именно мо­дулем Юнга и коэффициентом Пуассона.

Величина ст_Е — это растягивающее (нормальное) напряжение. Тогда уравне­ние (4.5), записываемое для всех компонент тензоров напряжений и деформации, принимает вид

4. Упругие материалы

где Е — модуль Юнга; ц, — коэффициент Пуассона.

Гидростатическое давление при одноосном растяжении выражается как:

Тогда, исходя из уравнения (4.8), можно получить следующее равенство:

Отсюда вытекает искомое соотношение между константами:

Основываясь на аналогичных аргументах и преобразованиях, нетрудно также следующее соотношение:

что приводит к соотношению между другими константами:

Полученные результаты позволяют вычислить любую пару констант, если из­вестны любые две другие константы. Так,

Таким образом, используя в качестве отправной точки любую пару констант, не­трудно вычислить все остальные. Существенно, однако, помнить, что из любого на­бора констант только две являются независимыми, а остальные просто вычисляют­ся, исходя из известной пары.

Существуют определенные физические ограничения на область допустимых значений констант. Так, интерес представляет анализ соотношения между объем­ным модулем и константами Е и ц.

Очевидно, что если тело сжимается, то его объем расти не может, в крайнем слу­чае он может остаться неизменным. Это приводит к естественному физическому ог­раничению:

Также вполне очевидно, что Е > 0, и это неравенство может выполняться только если

Для очень многих материалов выполняется сильное неравенство

то есть много легче изменить форму тела, нежели его объем (плотность).

Частный случай несжимаемого тела представляет специальный интерес. Если принять, что В -* оо, то есть предположить, что материал несжимаемый (это хорошее приближение — практически верно для жидкостей и резин), то это приводит к двум простым соотношениям:

Д=0,5 и

Е=ЗС.

Это означает, что для несжимаемого материала существует только одна харак­терная «свободная» константа.

Теперь можно переформулировать реологическое уравнение состояния для ли­нейного упругого (гуковского) материала, используя понятие об упругом потенциа­ле. Рассмотрим (для упрощения) случай несжимаемой среды. Тогда Е\ = О, и дока­зывается в общем случае функцией двух оставшихся инвариантов Е₂ и Е₃.

Простейшее предположение о форме упругого потенциала состоит в гипотезе о линейной зависимости 1^от Е₂:

№ = -ВЕ₂, (4.16)

где В оказывается единственной независимой константой, характеризующей свой­ства материала.

Можно вычислить все члены, входящие в это уравнение, и найти производные: — если индексы одинаковы

дЕ₂

Т^ ⁼ ~^е«^; &„

4. Упругие материалы 291

— если индексы различны

Сопоставляя эти результаты с уравнением (4.4), можно придти к уравнению Гу-ка, то есть к линейной связи между девиаторными компонентами тензоров напряже­ния и деформации, как представляется уравнением (4.9). Это означает, что уравне­ние (4.16) эквивалентно выше сформулированной концепции гуковского линейного тела, так что это уравнение следует рассматривать как инвариантное определение несжимаемого упругого линейного тела в пределе малых деформаций.

Оба сопоставляемые определения линейного упругого тела эквивалентны, и ка­жется, что уравнение (4.16) не предоставляет каких-либо преимуществ по сравне­нию со стандартным определением, связывающим компоненты тензоров напряже­ния и деформации. Однако это не совсем так, что будет видно при переходе к боль­шим деформациям. В этом случае формулировка реологического уравнения состояния через упругий потенциал обладает определенными преимуществами, по­скольку позволяет получить конечные результаты в более очевидной и элегантной форме.

Полезно показать диапазон изменения модуля упругости для некоторых реаль­ных материалов

Материал Модуль Юнга

Высокомодульные ориентированные волокна > 300 ГПа

Стали разного типа 200 ГПа

Медь, алюминий, цветные сплавы 100 ГПа

Камни, скалистые породы 40-60 ГПа

Инженерные пластики 5-20 ГПа

Лед 10 ГПа

Дерево 1-10 ГПа

Кожа 1-ЮОМПа

Резины 0,1-5 МПа

Полимерные и коллоидные растворы 1-100 Па

Конечно, приведенные выше величины носят иллюстративный характер, давая лишь представление о порядке возможных значений модуля упругости. Как видно, модуль Юнга может изменяться в диапазоне, превышающем 11 десятичных по­рядков.

В противоположность этому коэффициент Пуассона изменяется в гораздо более ограниченных пределах. Обычно значения коэффициента Пуассона лежат в преде­лах 0,3-0,4 и лишь для резин становится практически равным 0,5.

Концепция линейного упругого (гуковского) тела лежит в основе многих инже­нерных дисциплин, прежде всего теории упругости, сопротивления материалов и прочности. Это базовое реологическое уравнение состояния вместе с уравнениями равновесия, рассмотренными в разделе 1.1, широко и каждодневно используются для решения бесчисленных прикладных проблем. Обсуждение соответствующих за­дач выходит за рамки настоящей книги, поскольку они непосредственно не относят­ся к предмету реологии¹.

ПРШ1ЧАНИЕ :

Напряжения в упругом материале возникают не только при приложении меха­нических сия. Так, наоришр, пусть упругий стержень помещен между двумя жест­кими ограничивающими поверхностями, так что его деформация невозможна. Да­лее пусть такой стержень нагревается от 20 до 200 "С. Вследствие этого в стержне

возникнут термические напряжения, которые «счисляются как о_в « -—С » -оДТЕ,

'о

где Е — модуль Юнга; а — коэффициент линейного термического расширения; ДТ~~ рост температуры. :

Интересно оценить уровень возникающих напряжений. При обычных знамени-яха*1,2 - Ю~⁵К"¹;Е»2,1 • Ю⁵ Па и дт» 180 К, получаем 0_г**4§ОМПа; Эта величина близка к пределу прочности материала, составляющему 600-600 МПа. Это означа­ет, что термические напряжения могут привести к разрушению образца.

ПРИМЕРЫ _==!^_===:^_===:====₌₌^₌₌₌^₌=

Для того чтобы проиллюстрировать характер напряжений, возникающих при деформации твердых упругих материалов, приведем некоторые примеры.

Кручение цилиндрического вала

Пусть вал радиусом К нагружен крутящим моментом Т. Необходимо рассчи­тать распределение напряжений по радиусу вала и найти максимальное напря­жение. Это типичная инженерная задача, возникающая во многих приложениях.

к

Условие равновесия записывается следующим образом: |2яг²а(г)й?г = Г,

о где г — текущее значение радиуса; о — напряжения,Зависящие от радиуса.

¹ Существует огромное количество фундаментальных монографий и учебников, посвя­щенных решению различных инженерных задач деформации и прочности линейных упругих материалов. См., например, такие классические монографии, как А.Е.Н. ^ОVе. А. ТгеаНзе оп 1пе МаИгетпаЫс ТНеогу о/ЕЫлсйу. 4^Л ЕА. ^ОVе^. Ш. 1927; 5.Р. ТгтозИепЪо апд. С. Н. МасСиИоиф. Е1етеп1& о/51геп$Н о/тсйепаЬ. Уяга Шз1гапс1. N7.1949; 5.Р. ТгтозИепЬо апй]. М. Сеге. МесНатсз о/ таёепаЬ. Vап МозСтгк! КетНоШ. НУ. 1972; В. 5апЛог. ЖгепфН о/ та1епаЬ. Ргеписе Ной. Ещ1еа!оо(1 СН//5. 1978; Е.Р. РороV апЛ Т. А. Ва1ап. Еп§тееггп§ тесНатсь о/ 8оЫ$. Ргеписе Ной. иррег 5аМ1е Ктег. 1999.

См. также: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. — М.: Наука, 1987; Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. — М.: Физ.-мат. лит., 2002. — Прим. при переводе.

4. Упругие материалы

Для сдвиговых деформаций выполняется соотношение: о= гС —, где С —

ах

модуль упругости при сдвиге, а угол ф характеризует закручивание вала, зави­сящее от продольной координаты х, но не от радиуса.

Таким образом, видно, что касательные напряжения линейно изменяются но радиусу и максимальное значение о_к достигается на поверхности вала.

Совместное рассмотрение записанных уравнений приводит к формуле:

Т = 2пС— \ г³а"г =-----С—. Тогда, исключая —, получим, что о =

ах^ 2 ах ах

2Т (г} 2Т . . (Л

= —И — , а максимальное напряжение равно о_й = —г- и а(г)= с_к\ — \.

кК \К) пК' \К)

Кручение трубчатого вала

Пусть в ситуации, аналогичной рассмотренной выше крутящий момент приложен к цилиндрическому полому валу с наружным радиусом /?₀ и радиу­сом внутреннего отверстия /?,-.

Как и в предыдущем случае, распределение напряжений по радиусу остает-

ОТ¹ -1

ся линейным: а(г) = ——г, а для трубы Г = -7сД^(1-р⁴)ст_таХ1,_ийв, где р = /?,//?„. пК 2

Наличие отверстия приводит к увеличению максимального напряжения по сравнению со сплошным валом, которое выражается соотношением: а_{тах №/)с} =

= с_тах--------. Как видно, даже если отверстие занимает половину сечения по ра­диусу вала, то есть Я, = К₀/2, то это приводит к увеличению максимального на­пряжения всего па 2,5%.

Эта опенка показывает, в частности целесообразность экономии материла для валов, передающих крутящий момент, путем замены сплошных валов на полые.

Суперпозиция кручения и продольного растяжения

Если цилиндрический вал, рассматривавшийся в предыдущем примере, кроме крутящего момента Г дополнительно нагружен растягивающим усилием Р, то в материале возникают как касательные, так и нормальные напряжения.

Интерес представляет расчет главных напряжений и максимального каса­тельного напряжения.

Касательное напряжение на поверхности вала было найдено выше. Оно рав-

27" Р

но о» = —^-. Нормальные напряжения вычисляются как о_е = —^ Тогда, со-кК пК

гласно формулам, записанным в главе 1 для плоского напряженного состояния, получается следующее выражение для главных (нормальных) напряжений:

<.,,4["-^±^^]-^[^1±₁Я§Г]'

Наибольшее касательное напряжение (вычисляемое с учетом действия нормального напряжения) ст_шах, находится как

₀ _ст.-а₂_1 ГГ^1_ Р 1ц (*Т}² °"^их~ 2 -₂^⁺⁴° ~2яЯ²Ч" (КР) '

102