- •Основные понятия и формулы комбинаторики.
- •Классическое определение вероятности.
- •Алгебра событий
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей и основные следствия из них. Условная вероятность. Вероятность наступления хотя бы одного события из полной группы событий.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Формула Бернулли. Пуассона.
- •Локальная и интегральная теоремы Лапласа»
- •Дискретные случайные величины. Законы распределения дискретной случайной величины.
- •Функция распределения.
- •Плотность распределения.
- •Нормальное распределение. Равномерное распределение
- •Двумерные случайные величины.
Дискретные случайные величины. Законы распределения дискретной случайной величины.
1. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.
а)
Х |
2 |
3 |
5 |
9 |
р |
0,1 |
0,6 |
0,2 |
0,1 |
б)
Х |
-3 |
0 |
1 |
5 |
р |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
0,3 |
в)
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
р |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
2. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
3. В партии 10 % нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины – числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных и построить многоугольник полученного распределения.
4. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наугад отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
5. Вероятность того, что стрелок попадёт в цель при одном выстреле, равна 0,8. стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнётся. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины – числа патронов, выданных стрелку; б) найти наивероятнейшее число патронов, выданных стрелку.
6. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0, 0001. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины – количества бракованных учебников в тираже; б) найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.
Дома
1.Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины – числа выпадения чётной суммы очков на двух костях.
2. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа стандартных деталей среди отобранных.
Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дисперсия дискретной случайной величины и её свойства. Среднее квадратическое отклонение.
1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины , если известны математические ожидания величин и : .
а) ;
б) ;
в) .
2. Дискретная случайная величина принимает три возможных значения: с вероятностью , с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что .
3. Дан перечень значений дискретной случайной величины : , а также известны математические ожидания самой этой величины и её квадрата: . Найти вероятности .
4. Найти дисперсию дискретной случайной величины , если известны дисперсии величин и : .
а) ;
б) ;
в) .
5. Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения и , причём . Найти закон распределения величины , если .
6. Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения и , причём . Найти закон распределения величины , если .
7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретных случайных величин.
а)
Х |
2 |
3 |
5 |
р |
0,1 |
0,6 |
0,3 |
б)
Х |
-3 |
0 |
1 |
5 |
р |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
0,3 |
в)
Х |
1 |
2 |
3 |
5 |
7 |
р |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
Дома
1. Дискретная случайная величина имеет только три возможных значения , и причём . Найти закон распределения величины , если .
2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.
Х |
-2 |
-1 |
1 |
3 |
р |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |