9. Контроль вычислений.

Для контроля вычислений необходимо следить за тем, чтобы:

- сходились пять значащих цифр в значениях соответствующих элементов в столбце сумма и в столбце контроль;

- значение целевой функции при переходе от итерации к итерации должно увеличиваться при решении на максимум.

Выполнить итоговый контроль решения:

- в уравнения канонической формы подставить найденные значения неизвестных и проверить соблюдаются ли равенства;

- произвести контроль решения по формуле:

=

где х_i – значения базисных переменных (элементы столбца A_i0 последней симплексной таблицы);

C_i – коэффициенты целевой функции при базисных переменных;

A_i0 – свободные члены исходной системы условий (элементы столбца исходной симплексной таблицы )

y_i – двойственные переменные, находящиеся в индексной строке в столбцах дополнительных переменных, соответствующих i-му уравнению.

10. Анализ полученного решения.

11. Корректура оптимального решения.

Выполнить расчёты по нахождению новых вариантов оптимального плана, используя табл. 4, путём введения в план основной, а также дополнительной переменной, не вошедшей в базисное решение по формуле:

Таблица 4

Корректура оптимального решения

№ огр.	Базисные переменные	Значения базисных переменных Аio	Коэффициенты замещения при хj Kij	Произведение коэффициентов замещения на вводимую величину переменной Kij* хj	Знак действия - минус	Расчётный оптимальный план Ai0^/
1.
2.
3.
4.	Хнебазисн.	0	-1
Z

12. Определить целесообразность изменения оптимального решения.

Задачи для лабораторных работ

Примечание

В исходные данные во всех задачах внести изменения:

1). * -+ 100N

2). ** -+ N, где N – индивидуальный номер студента – устанавливается преподавателем.

Задача № 1: Оптимизация сочетания отраслей сельскохозяйственного производства.

Определить целесообразное сочетание отраслей производства, обеспечивающее максимум чистого дохода хозяйства. Все продовольственное зерно и молоко идет на продажу. Молока в хозяйстве должно производиться не менее 4000 ц.

В ходе решения задачи рассчитать общие денежно-материальные затраты хозяйства.

Исходные данные для расчета коэффициентов целевой функции:

стоимость 1ц продукции:

зерно продовольственное – 140 руб.;

зерно фуражное – 120 руб.;

сочные корма – 60 руб.;

зелёный корм – 25 руб.;

свинина – 800 руб.;

молоко – 600 руб.;

Производственные затраты по отраслям растениеводства принять равными 50-60% , а по отраслям животноводства 70-80% от стоимости соответствующей продукции.

При решении задачи примем, что в 1ц фуража содержится 1ц к.е., в 1 ц сочных кормов - 0,12 ц к.е., в 1/ц зелёных кормов - 0,18 ц к.е. Ресурсы хозяйства, а также нормативы затрат труда, денежных средств, питательности кормов, нормы кормления животных приведены в таблице 5.

Порядок выполнения задачи.

1. Дать полную постановку симплексной задачи:

— описание основных переменных;

— описание ограничений в развернутой неканонической форме с пояснением их содержания;

— описание целевой функции с пояснением ее содержания;

Таблица 5

Исходные данные к задаче

Показатели	Ед.	Нормативные показатели для различных отраслей						Ресурсы
	изм.	Зерновые		Сочн. корма	Зелен. корма	Свино-матки	Молочн. коровы	хозяйства
		Прод.	Фураж.
		га	га	га	га	гол.	гол.
		х1	х2	х3	х4	х5	х6
1.Пл. пашни	га	1	1	1	1	-	-	4350*
2.Посевы зерновых	га	1	1	-	-	-	-	35% от пл. пашни
3.Посевы трав	га	-	-	-	1	-	-	60% от пл. пашни
4.Пл. сенокосов и пастбищ	га	-	-	-	-	-	-	340** (урож.-10 ц.к.е./га)
5.Затраты труда	чел.час.	39	39	120	22	50	100	300000^*
6.Ден.-мат. затраты	тыс.руб.							150000^*
7.Урожайность	ц/га	28	30	250	200	-	-	-
8.Продуктив- ность	ц/гол					2,0	50
9.Нормы кормл.: Всего	ц к.е					45	50	-
в т.ч. концентраты	ц к.е					10	18	-
Чистый доход	тыс.руб.	1,46

— описание ограничений и целевой функции в канонической форме с точным определением смысла дополнительных переменных (придерживаться принятого на семинарах порядка нумерации дополнительных переменных).

2. Записать математическую формулировку задачи в структурном виде.

3. Решить задачу на ЭВМ.

4.Провести полный анализ решения (по схеме, изученной на семинарах).

Задача №2: Оптимизация сочетания отраслей производства

Определить целесообразное сочетание между посевами зерновых (продовольственных и фуражных) и кормовыми культурами, развитием скотоводства и свиноводства, обеспечивающее максимум стоимости товарной продукции хозяйства. Цены на продукцию на рынке: продовольственное зерно — 150 руб/ц; свинина — 8000 руб/ц; молоко — 600 руб/ц.

Ресурсы хозяйства, а также нормативы затрат труда, денежных средств, питательность кормов и нормы кормления приведены в таблице 6.

Таблица 6

Показатели	Ед. изм.	Нормативные показатели для различных отраслей хозяйства						Ресурсы хозяйства
		Зерновые		Соч. корма.	Зелен. корма.	Свиноматки.	Молочные. Коровы.
		Прод.	Фураж.
		га	га	га	га	гол.	гол.
Пл. пашни	га	1	1	1	1	1	1	2600^*)
1.Затраты труда	чел.-дн.	5	5	50	5	60	90	140000
2.Ден. -мат. Затраты	руб.тыс	3,0	3,0	8,0	3,0	9,0	16,0	250000
3.Урожайность, продуктивность	цк.е.	40	40	25,0	40,0	2,0	48
4.Нормы кормления: всего	цк.е.	-	-	-	-	40	50
5.Запас кормов на пастб. и сенокос. в т. ч. концентраты	цк.е.	-	-	-	-	10	20	3000^*
6.План продажи зерна	ц							7000^*

Порядок выполнения задачи:

1. Дать полную постановку симплексной задачи:

— описание основных переменных;

— описание ограничений;

— описание целевой функции;

— описание ограничений и целевой функции в канонической форме;

2. Составить матрицу (экономико-математическую модель) задачи и решить задачу на ЭВМ.

3. Провести полный анализ решения (по схеме, изученной на семинарах).

Задача №3: (оптимизация вариантов кормопроизводства)

В хозяйстве могут развиваться две отрасли животноводства скотоводство и свиноводство. Для КРС рассматриваются четыре варианта обеспечения его сеном и зеленым кормом:

I — потребность в сене и зеленом корме полностью обеспечивается за счет полевого кормопроизводства;

II — потребность в этих кормах обеспечивается за счет естественных угодий всех видов и полевого кормопроизводства;

III — используется пастбищный зеленый корм, а сено производится на пашне;

IV — сено поступает с естественных сенокосов, а для производства зеленого корма используется пашня.

Возможность выбора варианта кормопроизводства (либо оптимального сочетания нескольких вариантов) позволяет увеличить прибыль хозяйства при фиксированных его ресурсах.

При определении рационального сочетания отраслей в хозяйстве ставится цель — получить максимум прибыли, при условии, что определенные виды продукции будут производиться в объемах, не меньше заданных. Дополнительно при решении задачи необходимо оценить, целесообразно ли в хозяйстве выращивать сахарную свеклу.

Исходные данные для задачи представлены в таблице 7.

Таблица 7

Виды ресурсов или продукции	Потребности в ресурсах, продуктивность животных, урожайность							Объемы
	КРС (структурная корова), гол.				Свиньи, гол.	Пшеница, га	Сахарн. свекла, га	ресурсов
	варианты кормопроизводства
	I	II	III	IV
	Потребности в ресурсах на 1 гол. или на 1 га
Пашня (га)	3,8	2,5	2,0	2,5	7,1	1	1	4000^*)
Сенокосы (га)	-	1,3	-	1,3	-	-	-	100^**)
Пастбище (га)	-	4,1	1,1	-	-	-	-	900^**)
Труд (чел.-дн.)	25	46	34	38	77	15	51	300000
	Выход продукции с 1 гол. или с 1 га
Молоко (ц)	45	40	37	35	-	-	-	3550
Мясо (ц)	3,5	3,5	3,5	3,5	2,0	-	-	100
Пшеница (ц)	-	-	-	-	-	40		500
Сахарная свекла							450	1000
Прибыль с 1 гол или с 1 га (тыс.)	7,5	9,0	8,0	7,8	6,0	2,4	13,0

Порядок выполнения задачи:

1. Дать полную постановку симплексной задачи:

2. Составить матрицу задачи и решить задачу на ЭВМ.

3. Провести полный анализ решения.

Задача №4: (оптимизация сочетания отраслей)

Определить оптимальное сочетание в хозяйстве четырех отраслей (производство зерна, кукурузы на силос, молочное животноводство и свиноводство), обеспечивающее максимум производства продукции в денежном выражении.

В хозяйстве кроме пашни имеется 1000 га естественных сенокосов и пастбищ, средняя продуктивность которых равна 20,5 ц.к.е./га. Из продукции полеводства на корм скоту намечается использовать весь силос и 25% зерна. Коэффициенты перевода в кормовые единицы: по зерну — 1.0, по силосу — 0.2.

Другие исходные данные приведены в таблице 8.

Таблица 8

Виды производственных ресурсов	Ед. изм.	Нормы затрат				Объем
		на 1 ц зерна	на 1 ц силоса	на 1 корову	на 1 ц привеса свиней	ресурсов
		X1	X2	X3	X4
Пашня	га	0,010	0,004	-	-	2500^**)
Механизир. труд	чел.-дн	0,028	0,02	0,3	0,03	93000
Конно-ручн. труд	чел.-дн	0,03	0,04	3^*)	9	200000
Корма	ц.к.ед.	-	-	45	32
Цена продукции	тыс руб/ц тыс руб/гол	0,150	-	- 24,5	8,0

Порядок выполнения задачи:

1. Дать полную постановку симплексной задачи:

-описание основных переменных;

-описание ограничений в развернутой неканонической форме с пояснением их содержания;

-описание целевой функции с пояснением ее содержания;

-описание ограничений и целевой функции в канонической форме с точным определением смысла дополнительных переменных (придерживаться принятого на семинарах порядка нумерации дополнительных переменных).

2. Составить матрицу (экономико-математическую модель) задачи и решить задачу на ЭВМ.

3. Провести полный анализ решения (по схеме, изученной на семинарах).

Задача №5: (блочная модель)

Составить экономико-математическую модель и рассчитать оптимальный план развития с/х производства по двум бригадам хозяйства, принимая в качестве критерия оптимальности максимум чистого дохода. 50% озимой пшеницы идёт на корм скоту.

Исходные данные для составления модели и решения задачи приведены в таблице 9.

Таблица 9

Вид	Ед.	Нормы затрат или продуктивность				Ресурс или
Ресурса	изм.	оз. пшеница	кормовые	овощи	поголовье коров	план продажи
		га	га	га	гол
По бригаде 1
		х1	х2	х3	х4
1.Пашня	га					2600^*)
2.Трудовые ресурсы	чел.-дн./ га (/гол)	5,8	9,0	40,5^**)	46,0	290000
3.Нормы кормления	ц.к.ед./ гол.	-	-	-	55	-
4.Урожайность	ц.к.ед./га	40^**)	35		-	-
	ц/га			200
5.Капитальные вложения	тыс.руб/га (/гол.)	3,0	7;5	90,0	14,0	-
По бригаде 2
		х6	х7	х8	х9
6.Пашня	га					2800^*)
7.Трудовые ресурсы	чел.-дн./ га (/гол)	6,0	10,1	42,0^**)	41,1	110000
8.Нормы кормления	ц.к.ед./ гол.	-	-	-	56	-
9.Урожайность	ц.к.ед./га	41	37		-	-
	ц/га			220
10.Капитальные вложения	тыс.руб/га (/гол.)	2,6	6,9	92,0	14,6	-
По хозяйству в целом
11.Зерно на продажу	ц		-	-	-	21000
12.Молоко на продажу	ц	-	-	-	30	2100
13.Капитальные вложения	тыс.руб.					410000
Чистый доход	тыс.руб/га	6,0	-	180
	тыс.руб/гол.				21,0

Дополнительно включите в список основных переменных: X₅ и X₁₀ - капвложения в 1-й и 2-й бригадах, тыс/руб.

Порядок выполнения задачи:

1. Дать полную постановку симплексной задачи:

• описание основных переменных;

— описание ограничений в развернутой неканонической форме с пояснением их содержания;

— описание целевой функции с пояснением ее содержания;

• описание ограничений и целевой функции в канонической форме с точным определением смысла дополнительных переменных (придерживаться принятого на семинарах порядка нумерации дополнительных переменных).

2. Составить матрицу (экономико-математическую модель) задачи и решить задачу на ЭВМ.

3. Провести полный анализ решения (по схеме, изученной на семинарах).

4. Выбрать (по согласованию с преподавателем) две, не вошедшие в базис переменные (основную и остаточную), и ввести их в базис (по схеме, изученной на семинарах). Дать детальную содержательную, в том числе экономическую интерпретацию выполненных действий.

5. Выбрать один из дефицитных ресурсов (по согласованию с преподавателем). При фиксированных остальных ресурсах выявить зависимость Z_opt от величины этого ресурса во всем диапазоне значений от 0 до максимального значения. Дать содержательный комментарий к полученным результатам.

Задача № 6:(оптимизация трансформации угодий)

Для установления соответствия между существующим составом угодий и перспективным планом развития хозяйства в проекте внутрихозяйственного землеустройства предусмотрена трансформация угодий. Намечено создание на пахотных землях сада площадью до 150+N га и культурных пастбищ площадью до 250-N га. Для компенсации утраченной пашни часть пастбищ (не менее 300-10N га) может быть трансформирована в пашню. На части сенокосов (не менее 80+N га) предполагается поверхностное улучшение. Кроме того, на некоторой части пастбищ (до 30+N га) проектируется улучшение.

Определить оптимальный план трансформации угодий по критерию максимизации дополнительного чистого дохода хозяйства за счет трансформации с учетом указанных ограничений на максимальные площади трансформации различных видов, а также ограничения на период окупаемости капитальных вложений. В процессе решения задачи определить размер капвложений на трансформацию и реальный период их окупаемости. Исходные данные к задаче приведены в таблице 10.

Таблица 10

Трансформируемые угодья	Проектируемые угодья	Затраты на трансформацию		Данные для расчета дополнительного чистого дохода с 1 га трансформируемых угодий
		Материально денежные, —	Трудовые чел.-	урожайность, ц/га		трудозатраты, ч.-дн./ц
		руб/га	дн./га	до трансф.	после трансф	до трансф.	после трансф.
x1	Сад	9000	190	40	150	1,8	3,0
x2	ОКП	4000	110	40	200	1,8	2,6
x3	Пашня	2360	50	35	40	1,2	1,8
x4	Ул. сенокос	800	16	10	30	1,3	1,6
x5	Ул. пастбища	1200	15	35	80	1,2	1,6

Стоимость продукции:

зерно (с пашни) - 170 руб./ц;

мн. травы (с ОКП) - (50 + N) руб./ц;

фрукты - 1000 руб./ц;

сено (с пастбищ и сенокосов) - 60 руб./ц.

Ресурс ручного труда на трансформацию угодий составляет 60000 чел.-дн.

Стоимость одного чел.-дн. принять равной (150 + N) руб.

Ограничение по эффективности (сроку окупаемости) капитальных вложений имеет вид:

где _н - коэффициент нормальной эффективности (в расчетах полагать _н = 0,09 + 0,01N);

- капитальные затраты на i-й вид трансформации, руб/га;

- прирост чистого дохода при i-м виде трансформации, руб/га;

- площадь трансформации i-го вида, га.

Порядок выполнения задачи:

1. Дать полную постановку симплексной задачи:

— описание основных переменных;

— описание ограничений в развернутой неканонической форме с пояснением их содержания и «выводом» ограничения по эффективности капитальных вложений;

— описание целевой функции с пояснением ее содержания;

— описание ограничений и целевой функции в канонической форме с точным определением смысла дополнительных переменных (придерживаться принятого на семинарах порядка нумерации дополнительных переменных).

2. Составить матрицу (экономико-математическую модель) задачи и решить задачу на ЭВМ.

3. Провести полный анализ решения (по схеме, изученной на семинарах).

Дополнительно дать содержательную интерпретацию знаков () перед коэффициентами в ограничении по капитальным вложениям. Как влияют на указанный знак изменения различных исходных данных (затрат на трансформацию, цен на продукцию, урожайностей культур и т.д.). Что можно сказать о задаче, не решая ее, если: среди коэффициентов в ограничении по капитальным вложениям есть отрицательные и нет положительных; все коэффициенты - нулевые.

Задача № 7:

Найти оптимальную структуру посевных площадей на пашне и ее использование в структуре севооборотов. При этом следует учесть необходимость выращивания концентрированных, сочных, грубых и зеленых кормов, а также производство товарного зерна, сахарной свеклы и подсолнечника. В качестве критерия оптимальности принять максимум валовой продукции хозяйства в денежном выражении. Исходные данные для решения задачи, в том числе рекомендованное распределение культур в севооборотах приведено в таблице 11.

Примерная схема чередования культур в севооборотах:

Полевой севооборот № 1: (10 польный) Кормовой севооборот:(7по-й)

1. пар; 1. ячмень;

2. озимая пшеница; 2. многолетние травы;

3. сахарная свекла + корнеплоды; 3. многолетние травы;

4. кукуруза на зерно; 4. озимые на зелёный корм;

5. зернобобовые; 5. однолетние травы;

6. озимая пшеница + озимые на з/к; 6. кукуруза на силос;

7. кукуруза на силос; 7. кукурузу + корнеплоды.

8. подсолнечник;

9. ячмень;

10. многолетние травы (выводное поле)

Полевой севооборот № 2: (9 польный)

1. пар;

2. озимая пшеница;

3. сахарная свекла;

4. ячмень;

5. озимая пшеница;

6. зернобобовые;

7. озимая пшеница;

8. кукуруза на зерно;

9. подсолнечник.

Т аблица 11

Экономико-математическая модель задачи по установлению оптимальной структуры посевных площадей

Виды Ограничений	Пар	Оз. пше- ница	Сах. свекла	Кукур. на зерно	Зернобо- бовые	Подсол- нечник	Ячмень	Мн. травы	Оз. зел. корма	Корне- плоды	Одн. травы	Кукур. на силос	Полевой с-т №1	Полевой с-т №2	Кормо- вой с-т	Привлеч. тр. ресурс	Ресурсы и планы (тыс. ед.)
	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	X11	X12	X13	X14	X15	X16
1. Пл. пашни, га													1	1	1		4
2. Пар	1												-0,1	-0,11	0		0
3.Оз. пшеница		1											-0,16	-0,34	0		0
4. Сах. свекла			1										-0,07	-0,11	0		0
5.Кукур. (зерно)				1									-0,1	-0,11	0		0
6.Зернобобовые					1								-0,1	-0,11	0		0
7.Подсолнечник						1							-0,1	-0,11	0		0
8. Ячмень							1						-0,1	-0,11	-0,14		0
9. Мн. тр.								1					-0,1	0	-0,28		0
10. Оз. зел.корм									1				-0,04	0	-0,14		0
11.Корнеплоды										1			-0,03	0	-0,07		0
12.Одн.тр(сено)											1		0	0	-0,14		0
13.Кукур. (силос)												1	-0,1	0	0,21		0
14.Пл. пара, га	1																=0,3
15.Общ.потреб. в корме, ц.к.ед.		9	8	14	19		23	22	24	44	26	36					40
16. в т.ч. концентраты, ц.к.ед.		4		14	16		18										16
17.Сочные, ц.к.е.										44		36					13
18. Грубые, ц.к.ед.		5			3		5	22			26						7
19. Зеленые ц.к.ед.			8						24								4
20. По труду, чел.-дн.	0,5	3,6	34	27	3,8	6	4	3,9	3,4	18	6	8				-1	18
21.По произ. зерна, ц		18					5										1
22.Сах.свекла,ц			400														60
23Подсолн., ц						15											3
Стоим. товарн прод.тыс.руб.		3,0	24			12											max

Задача №8:

Определить посевные площади кормовых культур на зеленый корм, при условии обеспечения фермы КРС полноценными кормами с минимальными затратами на их возделывание. Пастбищный период длится с 1 мая по 30 октября.

Допустимые площади кормовых культур на зеленый корм, в соответствии с установленной системой севооборотов, приведены в таблице 12. Поголовье скота и суточная потребность в кормах по половозрастным группам приведены в таблице 13. Перечень культур, которые могут быть использованы в системе зеленого конвейера, приведены в таблице 14.

Потребность в зеленой массе определяется с учетом поступления трав с естественных пастбищ. Выход зеленой массы (в %) по месяцам пастбищного периода: май — (30)%,июнь — (35)%, июль — (20)%, август — 0, сентябрь — (10)%, октябрь — 5%. Урожайность пастбищ — (40) ц с гектара.

Максимальные допустимые пределы скармливания зеленой массы многолетних трав составляют 50% от общей потребности в каждый месяц.

В качестве основных переменных принять переменные, указанные в таблице 14, а также X₁₈ - общая площадь пашни под культурами зеленого конвейера (га).

Таблица 12

Площадь кормовых культур

№ п/п	Культура	Допустимая площадь посева, га
1	Озимая рожь	60
2	Многолетние травы 1 и 2-го укоса	130
3	Вико-гороховая смесь	40
4	Кукуруза	50
5	Пожнивные культуры	60
6	Кормовая бахча	30
7	Естественные пастбища	200^*)*45=9000
8	Сахарная свекла (ботва)	75

^{*) -} +10N; (N - номер студента)

Таблица 13

Поголовье скота и нормы кормления

Группа животных	Количество голов	Суточная норма кормления, кг
Быки-произодители	4	22
Коровы	400^**)	30
Нетели	40^*)	25
Молодняк старше года	125	20
Молодняк до года	300	4

Таблица 14

Строки использования культур

Периоды	Основные переменные (зеленая масса, ц)	Культуры	Срок использования	Урожайность, ц/га	Себестоимость, руб./ц
Май	X1	Озимая рожь	1.05 - 31.05	150	82
	X2	Мн. Травы 1-го укоса	1.05 - 31.05	150	29
Июнь	X3	Мн. Травы 1-го укоса	1.06 - 30.06	150	29
	X4	Вико-гороховая смесь	10.06 - 30.06	160^*)	72
Июль	X5	Мн. Травы 1-го укоса	1.07 - 31.07	150	29
	X6	Вико-гороховая смесь	1.07 - 31.07	160	74
	X7	Мн. Травы 2-го укоса	1.08 - 31.08	100	27
Август	X8	Кукуруза 1-го срока посева	1.08 - 20.08	200	70
	X9	Кукуруза 2-го срока посева	21.08 - 31.08	200	64
	X10	Мн. Травы 2-го укоса	1.09 - 30.09	100	27
Сентябрь	X11	Кукуруза 2-го срока посева	1.09 - 10.09	200^*)	64
	X12	Кукуруза 3-го срока посева	1.09 - 20.09	180	62
	X13	Пожнивные культуры	1.09 - 30.09	100	36
	X14	Кормовая бахча	10.09 - 30.09	30	59
	X15	Пожнивные культуры	1.10 - 30.10	100	36
Октябрь	X16	Кормовая бахча	1.10 - 30.10	30	39
	X17	Ботва сахарной свеклы	1.10 - 30.10	80	20

1. Дать полную постановку симплексной задачи:

- описание основных переменных;

- описание ограничений в развернутой неканонической форме с пояснением их содержания;

- описание целевой функции с пояснением ее содержания;

описание ограничений и целевой функции в канонической форме с точным определением смысла дополнительных переменных.

- описание ограничений в структурном виде.

2. Составить матрицу задачи и решить задачу на ЭВМ.

1. Провести полный анализ решения.

2. Составить схему зелёного конвейера.