7.2.2. Ймовірність.

Ймовірність події є кількісною оцінкою (характеристикою) об’єктивної можливості її появи. Ймовірність достовірної події дорівнює 1, а ймовірність неможливої події – 0. Ці події є невипадковими.

Події, ймовірності появи яких більше нуля і менше одиниці, є подіями випадковими.

Події називаються рівноімовірними, якщо ймовірність їх настання однакова.

Події називаються незалежними, якщо ймовірність настання однієї з них не залежить від того здійснилась чи ні інша подія.

Події називаються взаємно виключаючими, якщо настання однієї події робить неможливим здійснення другої.

Безпосередній розрахунок

В деяких випадках можливо виконати розрахунок ймовірності появи тієї чи іншої події.

Розрахунок імовірностей розглянемо на прикладі кидання кубика, на кожній з шести граней якого нанесені точки від 1 до 6.

Поява при киданні кубика числа очок, рівного 1,2,3,4,5 або 6 є достовірною. Поява семи очок неможлива. Поява одного очка – подія можлива, але випадкова. Ймовірність появи одного очка (або іншої кількості очок в межах 6) можна розрахувати.

Загальна кількість можливих подій дорівнює 6 і оскільки вони рівноімовірні, ймовірність кожної з них складає 1/6. В символах теорії імовірностей цей результат можна записати у вигляді:

Р(N) = 1/6. (7.2)

Це означає, що ймовірність Р появи заданого числа очок N дорівнює 1/6.

В загальному вигляді

Р(А) = р, (7.3)

тобто ймовірність події А дорівнює p.

Для будь-якого досліду, в якому можливі результати відомі і рівноімовірні, можна подібно до розглянутого прикладу безпосередньо розрахувати ймовірність того чи іншого результату. Якщо відомо, що із загальної кількості подій n поява бажаного результату А можлива m раз, то

Р(А) = m/n (7.4)

Наприклад, якщо в прикладі з кубиком необхідно визначити ймовірність випадання парного числа (тобто 2,4,6), то оскільки n=6 і m=3

Р(А_парне) = 3/6 = 0,5 (7.5)

Якщо є дві незалежні події А і В, ймовірності появи яких Р(А) і Р(В) відповідно, то ймовірність того, що відбудеться або подія А або подія В, визначається за формулою

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ), (7.6)

де

Р(АВ) = N_AB / N = P(A) · P(B) (7.7)

ймовірність здійснення одночасно двох подій А і В.

Для взаємно виключаючих подій

Р(АВ) = 0. (7.8)

Формула (7.6) визначає теорему додавання імовірностей.

Вираз (7.7) називається множенням імовірностей. Він визначає ймовірність того, що відбудеться і подія А і подія В.

Якщо відомі ймовірності всіх m можливих взаємно виключаючих подій в даній системі, то

. (7.9)

Формула (7.9) називається умовою нормування імовірностей.

Статистичне визначення ймовірності.

Визначити ймовірності розрахунком можливо лише в небагатьох випадках. Частіше застосовують статистичний метод визначення ймовірності події.

В результаті тривалих спостережень явищ масового характеру було встановлено, що та чи інша подія зберігає стійку частоту появи по відношенню до загальної кількості всіх розглядуваних явищ.

Стійкість частоти появи тієї чи іншої випадкової події перевірялася багатьма експериментаторами на подіях, ймовірність яких можна було розрахувати теоретично.

Наприклад, при киданні монети теоретична ймовірність випадання герба дорівнює 0,5.

Було проведено 3 експерименти. В одному кількість кидань була 4040, кількість випадань герба 2048, частота випадань герба – 0,5080.

В другому 12000 - 6019 – 0,5016

В третьому 24000 - 12012 – 0,5005.

Як бачимо частота випадань герба близька до теоретичної ймовірності і тим ближче до неї, чим більша кількість кидань.

Однак не можна категорично стверджувати, що при великій кількості дослідів частота подій не буде значно відхилятися від ймовірності. Можна тільки говорити, що ймовірність такого відхилення мала і тим менша, чим більша кількість дослідів.

Таким чином, ми логічно переходимо до розгляду законів розподілу випадкових величин.